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S. 9—16. 
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eins und eins ist zwei, dann ein weiteres ins Auge zu fassen und fort- 
zufahren, zwei und eins ist drei usw., dann wenn wir zu zehn Dingen 
(um für den Augenblick bei g = zehn stehen zu bleiben) gelangt sind, 
diese zu einer Gruppe zu vereinigen usw., kürzen wir rein mechanisch 
die genannten Sätze ab, indem wir beim Herausgreifen der einzelnen 
Dinge nur die Wörter eins, zwei, drei usw. in der uns durch lange 
Übung geläufigen Reihenfolge aussprechen. 1 ) Nur wenn wir auf Zahlen 
stoßen, welche die uns gewohnten Grenzen überschreiten, bleibt uns 
nichts anderes übrig, als uns wieder des Prinzips bewußt zu werden, 
nach dem die Zablbegriflfe zu konstruieren und ihre Namen zu 
bilden sind. 
Wegen des vollständigen Parallelismus, der zwischen den syste 
matisch gebildeten Zahlbegriffen einerseits und ihren Zeichen im 
indischen Positionssysteme andrerseits herrscht, können wir auch alle 
Rechnungen statt an den Zahl begriffen selbst nach bestimmten Ver- 
knüpfungs- und ümsetzungsregeln an den Zahlzeichen vornehmen, 
und wir brauchen erst dann, wenn wir zum Resultate gelangt sind, 
auf den dem gefundenen Zeichen entsprechenden Begriff zurückzugehen. 
Wir werden uns nunmehr überzeugen, daß wir auf diese Weise mit 
Leichtigkeit Rechnungen vollziehen können, die wir früher (vgl. An 
merkung 3 auf S. 16 und Anmerkung 1 auf S. 26) als tatsächlich un 
ausführbar bezeichnen mußten. Alles Zahlenrechnen läuft darauf hinaus, 
einen beliebig gegebenen Ausdruck, der ja auch selbst als Symbol 
einer eigentlichen Zahl aufgefaßt werden könnte, in die Form einer 
systematischen Zahl zu bringen. Erst wenn dies gelungen ist, haben 
wir, weil die sämtlichen systematischen Zahlen nach ihrer Größe ge 
ordnet sind, eine bestimmte Vorstellung von der Größe der durch den 
1) In diesem rein mechanischen Verfahren, zu welchem lange Übung die 
eigentliche Zählmethode abgekürzt hat, sucht Helmholtz in seiner Abhandlung 
„Zählen und Messen“ (Philosoph. Aufsätze zu Zellers Doktorjubiläum) das wahre 
Wesen des Zahlbegriifs. Er betrachtet die Zahlen als willkürliche Zeichen (be 
züglich Wörter), unter denen von vornherein keine Größenbeziehung existiert, 
deren Reihenfolge vielmehr einst von unseren Voreltern, als sie die Sprache 
schufen, willkürlich festgesetzt worden ist. Das Zählen einer Menge geht nach 
ihm in der Weise vor sich, daß jedem ihrer Objekte sukzessive ein Glied der 
Zahlenreihe in ihrer bestimmten Folge zugeordnet wird; die bei diesem Verfahren 
zuletzt verwendete Zahl heißt dann die Anzahl der betreffenden Menge. Es ist 
klar, daß der so definierte Zahlbegriff nicht mit dem übereinstimmt, was man 
bei allen Anwendungen der Arithmetik unter Anzahl zu verstehen pflegt. Infolge 
dessen ist auch das Rechnen mit diesen „Zahlen“, mag es in sich noch so kon 
sequent ausgebildet sein, nur ein Operieren mit leeren Zeichen, deren eigentliche 
Bedeutung unklar bleibt. Einen ähnlichen Standpunkt wie Helmholtz nimmt 
auch L. Kronecker ein in seinem Aufsatze „Über den Zahlbegriff“ (Philosoph. 
Aufsätze zu Zellers Doktorjubiläum u. Journ. f. Math., Bd. 101). Vgl. Husserl, 
Philosophie der Arithmetik, Anhang zum ersten Teil.