§ 10 C. Addition der systematischen Zahlen. 
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C. Addition der systematischen Zahlen. 
Die Addition verlangt ursprünglich die Auflösung der einzelnen 
Summanden in ihre Einheiten und die kollektivische Zusammenfassung 
der letzteren zu einem Ganzen, eine Operation, deren wirkliche Aus 
führung hei einigermaßen großen Zahlen unsere Kräfte überschreitet. 
Hätten wir als Vertreter der eigentlichen, uns nicht mehr zugäng 
lichen Zahlbegriffe die natürliche Zahlenreihe gewählt 1 ), d. h. von 
irgend einer schon bekannten Zahl ausgehend eine neue als Summe 
dieser und der Einheit definiert und ebenso eine weitere als Summe 
der neu definierten und der Einheit erklärt usw., so bliebe uns für 
die Addition kein anderer Weg, als von dem einen Summanden um 
so viel Einheiten schrittweise weiter zu zählen, wie der andere enthält, 
eine zwar stets ausführbare, aber bei großen Zahlen recht langwierige 
Rechnung. Sind aber A und B zwei Zahlen unseres Systems mit 
der Grundzahl g, etwa 
A = a n ...a m ... a 2 a x a 0 = a n g n H (- a m g m d b a 2 g 2 + a x g + a 0 
und 
B=h m ... MA = K9 m + • •' + \ 9 2 + K 9 + &o 0 > m), 
so ergibt sich unter Benutzung der in den §§ 3 u. 5 entwickelten 
E ormeln 
A + B = a n g n + • • • + (a m -f b m )g m + • • • -f (a 2 + h 2 )g 2 
+ ( a i + \)9 + i a o + h) ■ 
Die rechte Seite hat schon die Form einer systematischen Zahl, 
falls für alle vorkommenden Werte von g 
% + *>u<9- 
Ist aber für einen der Werte g 
% + h ^ 9, 
so setze man 
a u + = 9 + C u , 
wo 
, %<9 
und 
K+i + W )9‘ u + 1 + {% + h u )g u = (a M+1 + &„ +1 + 1 )9 u + 1 +c^. 
Sollte etwa jetzt a fl + x -f b +1 + 1 > # sein, so übertrage man in 
gleicher Weise den Überschuß auf den Koeffizienten von ^ tt + 2 usw. 
Wegen dieser Umsetzungen ist es zweckmäßig, die Summation bei der 
niedrigsten Stelle zu beginnen. 
1) Ygl. § i, S. 4.