i gleich 
1) und 
) + Ä r _ Q 
auf“, es bleibt 
Falle die Zahl 
höchstens in G 
zu bezeichnen, 
ird, wollen wir 
mg gebrauchen,. 
Rechnungen er- 
lenten bekannte 
atischen Zahlen. 
irch wiederholte 
erfahren wollen 
h als „Quadrat“ 
m aus den auf 
für die Lösung 
4- /y 2 
' “n-2 
in Divisor, sondern 
ron Fourier (Ana- 
o. auf die Fourier- 
um für den Unter- 
n über numerisches 
§ 10 G. Potenzieren der systematischen Zahlen. 
45 
{ein tt o) 2 a n ^ < ^ Ci n a n-1 “1“ tt n- 1 
+ 2(« Ä +« Ä _ 1 )c n _3 + it *% 
+ 
Setzt man jetzt 
+ + 
+ 2{a n + cc n _^ h « 2 + «iK + «o*- 
cc v = a y ■ g v (für V = n, n — 1,... 1, 0), 
wo g die Basis unseres Zahlensystems und jedes a v eine der Zahlen 
0, 1, 2, ... {g — 1) bedeutet, so geht die letzte Gleichung über in: 
{a n g n + a n _ 1 -g n - 1 + a n _,-g n - 2 + --- + a 1 g + a 0 y = a n 2 g 2n 
+ 2a n a n _ 1 g 2n ~ 1 + a 2 _ x g 2n ~ 2 
+ 2{a n g + a n _ x ) a n _ 2 g 2n ~*+ a 2 _ 2 g 2n ~^ 
+ • 
+ 2(a ra ^- 1 + a n _,g n - 2 + • • • + a 2 g + a x ) a 0 g + a 2 , 
oder kürzer geschrieben: 
• • • a i a o = «.V" + 2a w a ra _ l5 r 2?i - 1 + a 2 ^g 2 
+ 2 Vn-1 • a n-*f n ~ % + »I-2.9 2 
+ 
+ 2 • ... a 2 a t • a 0 # + a 2 . 
Damit ist die zweite Potenz der systematischen Zahl 
A = a n a n _ 1 a n _ ? ... a,a n 
in Form einer Summe dargestellt, welche nach fallenden Potenzen 
der Grundzahl g geordnet ist. Um sie als systematische Zahl zu 
schreiben, hat man die schon bei der Multiplikation angegebene Um 
formung der Koeffizienten vorzunehmen, wonach man erhalten möge 
^ 2 = c 2n+x9 2n+1 + c 2n g 2n + c 2n _ l g 2n - 1 -\- c 2n _ 2 g 2n ~ 2 + • • • + c^g + c 0 . 
Die rechte Seite beginnt entweder mit der (2w) ten oder der 
(2 m -f- l) ten Potenz von g, in andern Worten, c 2n+1 ist entweder gleich 
Null oder hat einen der Werte 1, 2, . . . {g — 1). Auf keinen Fall 
aber kann ein Glied mit einer höheren Potenz Vorkommen, weil wegen 
A <g n + 1 
A 2 <g 2n + 2 
sein muß. 
Wir wenden uns jetzt zur umgekehrten Aufgabe: wir denken