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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
uns eine Zahl C gegeben und suchen diejenige Zahl A, falls über 
haupt eine solche existiert, zu bestimmen, deren Quadrat gleich C ist, 
d. h. wir suchen die zweite Wurzel oder, wie man auch sagt, die 
Quadratwurzel aus C zu ziehen. 
Aus dem Vorhergehenden ist ersichtlich, daß wenn 
c = c 2n+i9 2n+1 + c 2n g 2n + c 2n _ 1 9 2n ~ 1 + c 2n _ 2 g 2n ~ 2 -\ y Cl g + c 0 
bei seiner Darstellung als systematische Zahl mit der (2n -f- l) ten oder 
(2w) ten Potenz der Grundzahl beginnt, die gesuchte Zahl A notwendig 
mit der n ien Potenz anfangen, also von der Form 
A == a n 9 n + a n -19 n ~ 1 + ‘ ‘ • + a i 9 + a o 
sein muß, wo 
1 < < <7 — 1, 0 <. a v K g — 1, für v = 0, 1,.. . n — 1. 
Unsere Aufgabe besteht darin, aus den Koeffizienten c die Koeffizienten 
a zu berechnen. 
Die Entstehung der Koeffizienten c bei der Quadraterhebung 
einer systematischen Zahl lehrt unmittelbar, daß 
(I) c 2 n+ig 2n+1 + % n g 2n >a n 2 g 2n , 
(H) c 2n+1 g 2n+1 + c 2n g 2n + + c 2n . 2 g 2n ~ 2 
> a 2 9 2n + %a n a n-i9 2n ~ x + al-i9 2n ~ 2 usw. 
Wir suchen jetzt die größte Zahl g n auf, deren Quadrat kleiner 
oder gleich c 2n + 1 c 2n , so daß also 
9n£c 2n+l g + c 2n <{g n + l) 2 . 
Die zuerst zu bestimmende Zahl a n kann nicht größer als g n sein, 
weil, wenn a n g n + 1, 
a n 2 9 2n > c 2n+1 g 2n + 1 + c 2n g 2n 
wäre, was der obigen Relation I widerspricht. a n kann aber auch 
nicht kleiner als g n sein, weil aus 
9n9 2n £ c 2n + 1 g 2n+1 + c 2n g* n + f c t g + c 0 
nach § 7 C, I folgt 
9n9 n £a n 9 n + a n-t 9 n ~ 1 +"' + «i0 + 
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