§ 10 G. Radizieren der systematischen Zahlen. 
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und suchen die größte Zahl g n _ 1 , für welche 
2a n g n _t9 + g\- x < d n g 2 +c 2n _ 1 g + c 2 „_ 2 . 
Bei dieser Bestimmung von g n _ x ist ein Probieren nicht ganz 
zu vermeiden. Man sucht der Relation zunächst durch diejenige Zahl 
zu genügen, die man erhält, wenn man d n g + c 2n _ 1 durch 2a n divi 
diert, muß aber häufig auf eine um eine oder mehrere Einheiten 
kleinere zurückgehen. 1 ) 
Ähnlich wie vorher überzeugt man sich, daß a n _ 1 — g n _ x se hi 
muß. Die Annahme, daß a n _ x ¡> g n _ x + 1, hat nämlich zur Folge: 
2 
oder 
ZWn-i9 2n ~ 
Vn-i9 + «Ü-! > d n 9 2 + Cçn n _ x g + C 2w _ 2 
1 + <-i0 2 ”" 2 > i c 2n+i9 + Qu - a n 2 )g* n + c ïn _ 
+ Qu- 
n 2n ~ 
1 g 
(i%n- 
2 g 
1 
2 
> 
eine Ungleichung, welche der Relation II auf S. 46 widerspricht. 
Weil andrerseits 
c 2 n+i9 2n+1 + % n g 2n + c in _ 1 g in - 1 + f- c t g + c Q 
_ ^ a n 2 9 2n + 2a »9 n -i9 2n ~ 1 + 9 2 n -i9 2n ~ 2 , 
a n9 n + a n - x 9 n ~ l H + dt9 + % > a n 9 n + 9 n -i9 n ~ x , 
woraus sich ergibt, daß a n _ 1 auch nicht kleiner als g n _ t sein kann. 
Nachdem man so a n _ 1 bestimmt hat, setze man 
(<*„£* + c in -i9 + 0u- 2 ) ~ i 2a n a n-i9 + <-i) = ¿n-i 
und wähle für a n _ 2 die größte Zahl, für welche 
2 0n9 + (*n-1) • a n-2 • 9 + <-2 < d n-i9 2 + c 2n _ 3 g + c 2 „_ 4 , 
und fahre in gleicher Weise fort. 
Wenn die Ziffern a n , a n _ 1} . . . a v gefunden sind, ergibt sich 
a v _ x als die größte Zahl, für welche 
1) Daß eine Zahl, welche größer ist als der auf diese Weise erhaltene Quo 
tient, der letzten Ungleichung sicher nicht genügen kann, ist sofort zu sehen. 
Darboux (Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 2. Série, 11. 
Band, 1. Teil, S. 176ff.; vgl. auch Lüroth, Vorlesungen über numerisches 
Rechnen, Leipzig 1900, S. 143) hat darauf hingewiesen, daß wenn man d n g c in _ 1 
nicht durch 2 a n , sondern durch %a n -\-l dividiert und den Quotienten q nennt, 
stets 2a n qg -f- q* < d n g 2 + c 2n _ 1 g -f c 2n _ a , aber, wenigstens für #=10, 
2il , i (2 + 2 )0 + (3 + 2) S! >d w 0 2 -f c 2n _ i g + c 2n _ i ist. Die gesuchte Zahl g n _ t kann 
also nur einen der beiden Werte q oder q -f- 1 haben, je nachdem nämlich 
2 «n(2 + % + (5 + l) 2 größer oder kleiner als d n g* + c in _ x g + c 2n _ 2 ist. Der 
Beweis ist leicht zu führen.