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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
2 ■ °n a n-f- a v • a v-x ’ 9 + a l-i£ d y+ c 2v _ 1 -g + C 2v _ 2 , 
wo sich d v mittelst der „Rekursionsformel"Q 
d v — d v+1 g 1 2 -(- c 2r+1 g -j- c 2v (2a n a n _! • • • ct v +i • a v 9 d - a v ) 
berechnen läßt. 
Schließlich ist a 0 diejenige Zahl 7 für welche 
2 • a n a n-1 • • • »9 a l • «0# + «0* = ^ + G# + C 0 . 
Gibt es keine dieser Gleichung genügende Zahl a 0 , so heißt das, 
es existiert keine Zahl A, deren Quadrat der gegebenen Zahl G gleich 
ist. Nehmen wir in diesem Falle für a 0 den größten Wert, für wel 
chen die linke Seite noch kleiner als die rechte ist, so stellt die ent 
sprechende systematische Zahl A die größte Zahl dar, deren Quadrat 
noch kleiner als C ist, und die Differenz zwischen der rechten und 
der linken Seite ist gleich dem Unterschiede C — A 2 . 
Die soeben entwickelten Rechnungs vor schritten erläutern wir an 
einem Zahlenbeispiel. Um von sonstiger Gewöhnung unabhängig zu 
sein, wählen wir als Grundzahl des Systems nicht zehn, sondern z. B. 
■zwölf. Wollen wir im „Zwölfersystem" rechnen, so brauchen wir 
einerseits besondere Zeichen für die Zahlen zehn und elf, wir nehmen 
als solche die griechischen Buchstaben £ und s- andrerseits müssen 
wir für die Summe und für das Produkt je zweier der Zahlen 
1, 2, ...,£, £ Tabellen entwerfen, mittelst deren wir dann alle Rech 
nungen an den Zahlzeichen rein mechanisch ausführen können, ohne 
jedesmal an die Bedeutung der Zeichen denken zu müssen. Es sei 
nun die Aufgabe vorgelegt, aus der im Zwölfersystem geschriebenen 
Zahl 
q = {xid 13H2«01 
die Quadratwurzel zu ziehen. 
Da die Zahl achtstellig ist, haben wir 2w + 1 = 7, also n = 3. 
Falls überhaupt eine Zahl A existiert, deren Quadrat gleich C ist, 
muß sie demnach vierstellig sein, d. h. die Form haben 
A = a 3 a 2 a x a 0 = a 3 10 3 -f a 2 10 2 + a t 10 -f a 0 . 2 ) 
a 3 ist gleich der größten Zahl, deren Quadrat kleiner als 13 ist, also 
U-J — 3. 
1) Unter einer Rekursionsformel versteht man eine Formel, die jedes Glied 
einer Reihe von Größen (wie hier die Zahlen d n , d n _ 11 ... d v ,... d t ) aus dem 
vorhergehenden oder aus mehreren vorhergehenden zu berechnen gestattet. 
2) 10 ist hier natürlich das Zeichen der Zahl zwölf.