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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
IVb. Wenn sowohl a wie auch Ti zu b relativ prim ist, 
so muß auch ah zu b relativ prim sein. 
Die wiederholte Anwendung dieses Satzes führt zu der Verall 
gemeinerung: 
Wenn die Zahlen a, h, l, m, . . . sämtlich zu b relativ prim 
sind, so ist auch ihr Produkt a • h ■ l • m ■ • • zu b relativ prim, 
und weiter zur Folgerung: 
Wenn jede der Zahlen a, h, l, m, , . . zu jeder der Zahlen 
b, h', V, m,,.. relativ prim ist, so ist auch das Produkt a -h -l- m ■ • • 
zu dem Produkte b ■ h' • V • m • • • relativ prim. 
Gebrauch machen werden wir später insbesondere von der Spezi 
alisierung dieses letzten Satzes: 
Wenn a und b relativ prim sind, so ist auch jede Potenz 
von a zu jeder Potenz von b relativ prim. 
B. Gemeinschaftliche Tielfache mehrerer Zahlen. 
Im nächsten Kapitel werden wir fernerhin in die Lage kommen, 
zu zwei gegebenen Zahlen a, b die gemeinschaftlichen Vielfachen 
suchen zu müssen, d. h. diejenigen Zahlen, welche sowohl durch a wie 
auch durch b teilbar sind. Wir wollen deshalb auch die Lösung 
dieser Aufgabe hier mitteilen. 
Ist T der größte gemeinschaftliche Teiler von a und b,a = a'T, 
b = b'T, sind also a und b' relativ prim, so muß jedes gemeinschaftliche 
Vielfache von a undb zunächst doch Vielfaches von a, also von der Form 
m-a^m-a'T sein, wo m irgend eine Zahl bedeutet. Damit nun ma'T 
auch Vielfaches von b = b' T sei, muß m • a durch b', also weil a und b' 
teilerfremd, m durch b' teilbar, demnach von der Form p • b' sein. 
Jedes gemeinschaftliche Vielfache von a, b ist also gleich dem Pro 
dukte a'b'T mal irgend einer Zahl p. Daß umgekehrt auch jedes 
Produkt von dieser Form p • ab' T Vielfaches von a wie von b ist, 
leuchtet unmittelbar ein. Die kleinste aller Zahlen pa'b'T, also das 
kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a,b ist a • b'• T — 
a ■ b : T, und alle übrigen gemeinschaftlichen Vielfachen sind wieder 
Vielfache dieses kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen, 
Soll das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von mehr als zwei 
Zahlen a, a 1} a 2 , ... a n gefunden werden, so sucht man zuerst das 
kleinste gemeinschaftliche Vielfache m 1 von a und a 1} dann das kleinste 
gemeinschaftliche Vielfache m 2 von m 1 und a 2 usw., endlich das 
kleinste gemeinschaftliche Vielfache m n von m n _ 1 und a n . Ähnlich 
wie für zwei Zahlen läßt sich zeigen, daß m n die kleinste aller der 
Zahlen ist, welche sowohl durch a wie durch % . . . wie durch a n 
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