§ 11B. Gemeinschaftliche Vielfache mehrerer Zahlen. 55 
teilbar sind, und daß alle übrigen Zahlen von derselben Eigenschaft 
Vielfache von m n sein müssen. Sind insbesondere je zwei der Zahlen 
■a, a lf « 2 , ... a n relativ prim zu einander, so ist das kleinste gemein 
schaftliche Vielfache das Produkt a • a x • a 2 . . . a n . 
C. Darstellung einer beliebigen Zahl als Produkt von Primzahlen. 
Da für jede Zahl a die Gleichung a = a • 1 gilt, ist jede Zahl 
durch 1 und durch sich selbst teilbar. Eine Zahl, welche nur diese 
beiden Teiler 1 ) besitzt, heißt Primzahl. 
Jede Zahl a, welche außer a und 1 noch andere Teiler 
hat, läßt sich, und zwar nur auf eine Art als Produkt von 
Primzahlen darstellen; sie heißt deshalb zusammengesetzte 
Zahl. 
Beweis: Ist t ein von a und 1 verschiedener Teiler der Zahl a, 
so ist t entweder Primzahl oder besitzt einen von t und 1 verschie 
denen Teiler t\ Wenn diese Zahl t' nicht selbst Primzahl ist, besitzt 
sie einen von ihr und 1 verschiedenen Teiler t" usw. In dieser 
Weise fortfahrend, muß man, weil a > t > t' > t" > • • • > 1, not 
wendig nach weniger als a Schritten auf einen Teiler p stoßen, der 
Primzahl ist. Nach § 11 A, I ist p auch Teiler von a, also a=p-a. 
Entweder ist nun a selbst Primzahl oder, wie nach dem soeben an 
gewendeten Schlußverfahren gefolgert werden kann, durch eine Prim 
zahl p teilbar, a = p • a", also a = p • p • a". So weiter schließend, 
findet man für a eine Reihe von Produktdarstellungen 
a — p • a = p • p • a" = p • p • p" • a" = • • •, 
in deren jeder alle Faktoren außer dem letzten sicher Primzahlen 
sind. Solange der letzte Faktor a, bezüglich a", bezüglich a" usw. 
keine Primzahl ist, kann man die Reihe weiter fortsetzen. Da nun 
aber a > a" > o!" • • • > 1, ist die Anzahl dieser letzten Faktoren 
kleiner als a - nach weniger als a Schritten muß man also auf eine 
ProduktdarStellung stoßen, in welcher sämtliche Faktoren Prim 
zahlen sind. 
Angenommen, man hätte für dieselbe Zahl a zwei verschiedene 
Primzahlprodukte gefunden: 
a = p • p • p" . . . und a = q ■ q • q" . . ., 
so würde aus 
P • P • P" • • • = q • q' • q" • • • 
1) Die Zahl 1 selber ist nur durch 1 teilbar. Auch hier also zeigt sich 
wieder der Ausnahmecharakter von 1 (Ygl. S. 2, Anm. 2). Ob man 1 Primzahl 
nennen will, ist an sich willkürlich; für die Darstellung erscheint es zweck 
mäßiger, 1 nicht zu den Primzahlen zu rechnen.