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56 J. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
folgen, daß das links stehende Produkt durch q teilbar ist Es kann 
also nicht jede der Zahlen p, p', p",... zu q relativ prim sein (nach 
§ 11 A, IV B). Wenn aber zwei Primzahlen außer 1 noch einen 
anderen gemeinschaftlichen Teiler besitzen, so sind sie identisch. Ein 
Faktor der linken Seite muß also gleich q sein. Läßt man den 
gleichen Faktor auf beiden Seiten fort und wendet auf die übrig 
bleibende Gleichung denselben Schluß an, so erkennt man, daß ein 
anderer Faktor der linken Seite gleich q sein muß. Die Fortsetzung 
dieses Schluß Verfahrens ergibt, daß jeder Faktor der rechten Seite 
auch links vorkommt, die linke Seite also jedenfalls gleich dem Pro 
dukte von q ■ q • q". . . mal einer Zahl r sein muß. Da aber die 
Gleichung 
(q • q-q"- • •) • r = q • q- q • • • 
nur für r = 1 besteht, so folgt, wenn man von dem selbstverständ 
lichen Faktor 1 absieht, daß die Gesamtheit der Primzahlen p, p, p",... 
mit der Gesamtheit der Primzahlen q, q, q \ . . , übereinstimmt, eine 
beliebige Zahl a sich demnach nur auf eine Art als Produkt 
von Primzahlen darstellen läßt. 
Hierbei kann dieselbe Primzahl mehrmals als Faktor auftreten. 
Schreibt man das Produkt der einander gleichen Primzahlen als Po 
tenz, so hat man für jede zusammengesetzte Zahl a die Darstellung 
a =p*ip 2 «*' ..p n a n } 
wo jetzt p x , p 2 , . . . p n voneinander verschiedene Primzahlen und 
cc lf a 2 ,... a n irgend welche Zahlen bedeuten. 
Die wirkliche Zerlegung einer sehr großen Zahl a in ihre Prim 
faktoren bezüglich die Entscheidung der Frage, ob eine solche Zahl 
Primzahl ist, bietet im allgemeinen erhebliche Schwierigkeiten. Bis 
zu Eulers Zeiten hatte man keine andere Methode, als zu prüfen, ob 
die vorgelegte Zahl a durch irgend eine der Primzahlen teilbar ist, 
deren Quadrat < a\ wenn nämlich a = r • s, so kann nicht gleich 
zeitig r 1 2 > a und s 2 > a sein. Auf die neueren Methoden, welche 
die Untersuchung abkürzen, können wir hier nicht eingehen, weil sie 
eine tiefere Kenntnis der Zahlentheorie voraussetzen. 1 ) Man besitzt 
jetzt Tafeln 2 ), welche für alle Zahlen bis zu gewissen Grenzen hin 
die kleinsten Primzahlteiler angeben. Daß, wie weit man auch in 
der natürlichen Zahlenreihe fortschreite, man niemals auf eine letzte 
1) Vgl. Enzyklopädie der Mathemat. Wissensch., I. Bd., 2. Teil, S. 576. 
2) L. Chermac, Crihrum arithmeticum, Deventer 1811 (bis 1020000); J. Chr. 
Burckhardt, Tables des diviseurs jusqu’ ä 3036000, Paris, 1814—1817; Z. Base, 
Faktorentafeln (7 te bis 9 te Million), Hamburg, 1860, 63, 65; J. Glaisber, Fac 
tortables for tbe 4., 5,, 6. Million, London 1879, 80, 83.