58 I- Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
man jede Primzahl, die in irgend einer der gegebenen Zahlen enthalten 
ist, mit dem Exponenten, welcher ihr in der Primzahlzerlegung der 
jenigen gegebenen Zahl zukommt, in welcher sie am häufigsten auf- 
tritt. Das Produkt der so bestimmten Primzahlpotenzen ist ein Viel 
faches jeder der gegebenen Zahlen, während es durch mindestens eine 
der gegebenen Zahlen nicht mehr teilbar wäre, sobald man es durch 
irgend eine Primzahl dividierte; es ist also das kleinste gemeinschaft 
liche Vielfache. 
§ 12. Einige weitere (im folgenden Kapitel zu verwertende) Begriffe 
und Sätze ans den Elementen der Zahlentheorie. 
A. Zahlenkongruenzen. 
Sind zwei beliebige Zahlen g, m gegeben, so lassen sich stets mit 
tels Division von g durch m (vgl. § 10 F, S. 42—44) zwei Zahlen 
q, r eindeutig so bestimmen, daß 
g = q ■ m -f r, wo ^ 0, 
0 < r < m — 1. 
Die Teilung einer zweiten Zahl g durch m ergebe den Quotienten 
q und den Rest r, so daß 
Wenn nun 
g = q • m -f r. 
r = /, also g — g = (# — q)m 
(bezüglich g' — g — {q — q)m) ein Vielfaches von m ist, so sagt man 
nach der von Gauß in der Sectio Prima seiner Disquisitiones Arith 
meticae (1801) eingeführten Bezeichnungsweise, g sei kongruent g' 
für den Modul m, schreibt g = g’ (mod m) und nennt die Be 
ziehung zwischen g und g eine Kongruenz. 1 ) 
Daß auch umgekehrt, wenn g — g (wobei wir voraussetzen, daß 
g > g') durch m teilbar ist, g und g bei der Division durch m not 
wendig denselben Rest lassen, ist leicht zu sehen; denn aus 
g — 9 = (ff - q)m + r - r', 
1) Das Wort „congruum“ wird im selben Sinne wie von Glauß schon viel 
früher (1732) von Goldbach in einer Abhandlung „Criteria quaedam aequatio 
num, quarum nulla radix rationalis est“ (Commentarii Academiae Petropolitanae 
ad annum 1732 et 1733, Bd. YI, 98—102) verwendet. Ygl. M. Cantor, Vor 
lesungen, Bd. III, S. 611, Wir benutzen den Kongruenzbegriff hier nur der 
kürzeren Ausdrucksweise wegen, ohne auf die Theorie der Kongruenzen genauer 
eingehen zu wollen.