Vorlesungen über Geometrie: Geometrie der Ebene

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 1004739613

Author:: Hesse, Ludwig Otto

Title:: Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes

Sub title:: insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung

Scope:: XIV, 368 Seiten

DOI:: 10.14463/GBV:1004739613

Year of publication:: 1861

Place of publication:: Leipzig

Identifier (digital):: 1004739613

Signature of the source:: Mr.I 4261

Language:: German

Publisher of the original:: Druck und Verlag von B. G. Teubner

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Dreiundzwanzigste Vorlesung. Kürzeste Linien auf dem Ellipsoid.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

106 Zweite Abtheilung. Die Curven und somit tuenden die Coiifficienten der Kegelschnittgleichung proportional zu den Quadraten und Producten dreier Grössen, d. h. es wird, wenn ft ein Proportionalitätsfactor ist: a \\ — PPi 2 a n = (10) ^22 = ^r 2 2 «31 = PYz7\ «33 = № 2 «12 = ^1 TV Es folgt so, dass die linke Seite der Curvengleichung das vollständige Quadrat eines linearen Ausdrucks wird: Ua ik x { x k = {y x x x + y 2 x 2 -f y ä x. 3 y, und der Kegelschnitt besteht aus einer Doppellinie: ein jeder Punkt der selben ist nunmehr als Doppelpunkt zu betrachten. Die Gleichungen (10) zeigen das gleichzeitige Bestehen der fol genden Relationen: A x , = 0 A 2 3 = 0 A 22 — 0 A 3X — 0 A 22 — 0 A X ty — 0 Anderseits folgen aus dem Verschwunden dieser Unterdeterminanten wieder die Gleichungen (10), also: Wenn nicht nur die Determinante eines Kegelschnittes verschwindet, sondern auch alle Unterdeterminanten derselben, so besteht der Kegel schnitt aus einer Doppellinie. In der That ist dann die Gleichung in Liniencoordinaten X A ik UiU k — 0 von jeder Geraden u erfüllt, wie es sein muss, da eine jede Gerade eine doppelt zählende andere Gerade in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet. — Die Betrachtungen dieser Ausartungen (Linienpaar und Doppel linie) kann für die Untersuchung der allgemeinen Kegelschnitte von grossem Nutzen werden. Es bietet sich hier nämlich die Aufgabe: das Product der beiden von einem Punkte an die Curve zu legenden Tangenten zu bestimmen; und diese Aufgabe wollen wir als eine An wendung der vorhergehenden Erörterungen noch durchführen. Ziehen wir durch einen Punkt alle möglichen Strahlen und be stimmen auf ihnen Punkte ¿r so, dass sie mit y und den beiden Schnittpunkten des Strahles mit der Curve ein bestimmtes Doppel- verhältniss a bilden, so liegen die Punkte z, wie wir am Eingang der allgemeinen Kegelschnitttheorie fanden, auf einer Curve zweiter Ord nung, gegeben durch; (« + l) 2 PR — 4 aQ 2 = 0, wo P, 0, R die folgende der symbolischen Bezeicl P=(a x y x + i R = (a l z l -j- 1 Q = («, Z x -J- i Hieraus erhielten wir für die Polare des Punktes nach unseren allgemeine] den vier Punkten zwei, als ein Paar benutzt w zusammenfallen, also in u die Schnittpunkte des E Punkte sind allein beweg in zwei zusammenfallend rühren; und die für a = Product der beiden von y (11) Um diese Gleichung wi verfahren wir folgendem des Punktes y in Bezug also die Coefficienten de: (12) avi = a ix y x Alsdann haben wir in (1 ZiZ k in (11) zu setzen, < Die Coordinaten a t und aus den Gleichungen : K ißi=a xx P~G'vp, a 2 a ißi=a X2 P— g' 1 v x v 2 +py :i , er., a \ß% ==a v.]P-■G'v i v :x — Qty 2 , a 2 Hierin sind die y unmitt bestimmen, um dann die können. Diese Bestimm wegen (6) haben wir; (13)

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fullscreen: Geometrie der Ebene (1. Band)

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