Die mathematische Methode

Hölder, Otto

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 100494201X

Author:: Hölder, Otto

Title:: Die mathematische Methode

Sub title:: logisch erkenntnistheoretische Untersuchungen im Gebiete der Mathematik, Mechanik und Physik : mit 235 Abbildungen

Scope:: 1 Online-Ressource (X, 563 Seiten)

Year of publication:: 1924

Place of publication:: Berlin

Identifier (digital):: 100494201X

Illustration:: Diagramme

Language:: German

Publisher of the original:: Springer

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: ZWEITER TEIL. LOGISCHE ANALYSE DER METHODEN.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: Dreizehnter Abschnitt. Bausteine zu einer Logik der mathematischen Wissenschaften.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 120. Würdigung dieser und anderer ähnlicher Schlußweisen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

334 Bausteine zu einer Logik der mathematischen Wissenschaften. § 120. Würdigung dieser und anderer ähnlicher Schlußweisen. Poincare hat gesagt, daß der Schluß von n auf n + i das ein zige besondere, für die Mathematik charakteristische Schlußverfahren ausmache, und daß seine Grundlage als ein Axiom angesehen werden müsse 1 ). Ich werde nachher zeigen, daß das Verfahren sich mit an deren unter einen gemeinsamen Gesichtspunkt fassen läßt. Zuerst möchte ich für das Verfahren eine Art von Beweis geben. Zu diesem Zweck nehme ich an, der Lehrsatz, in den die ganze Zahl m eingeht, und der für m — i richtig ist, sei nicht für alle Zahlen (i) m = i, 2, 3,4, ... wahr. Es müßte dann eine erste Zahl v geben, für die der Lehrsatz nicht wahr ist, und es könnte nach dem Vorigen v nur einen der Werte 2, 3,4, ... besitzen. Hieraus aber geht hervor, daß die v vorangehende Zahl v — i in der Reihe (i) vorkommt, und es müßte nun für m — v — i der Lehrsatz noch gültig sein. Wenn andererseits tatsächlich aus der Gültigkeit des Satzes für m — n stets die Gültigkeit für m — n + I mit Notwendigkeit folgt, so sind wir damit an einem Widerspruch angelangt, da ja unser Lehrsatz für v — i gültig war und für v nicht. Es folgt aus diesem Widerspruch die Unmöglichkeit der früheren An nahme, d. h. es ergibt sich indirekt die Richtigkeit des Lehrsatzes für alle Zahlen (i). Ich lege keinen besonderen Nachdruck auf diesen indirekten Be weis. Er setzt gewissermaßen als logisches Axiom 2 ) voraus, daß, wenn nicht alle Glieder einer nur nach der einen Seite unendlich aus gedehnten Folge eine bestimmte Eigenschaft besitzen, ein erstes Glied da sein muß, das die betreffende Eigenschaft nicht besitzt 3 ). Man kann an Stelle des erwähnten Beweises sich einfach darauf beziehen, daß die Möglichkeit, von n auf n + i zu schließen, hier eine ganze unendlich Folge möglicher Schlüsse, von i auf 2, von 2 auf 3 usw. auf einmal zu überblicken ärlaubt. Der Erfolg beruht darauf, daß wir eben von dieser Folge als einer gesetzmäßig unendlichen einen Begriff haben, d. h. daß wir sie eben „begreifen“. Der Überblick, den г ) La Science et l’Hypothese, p. 23. 2 ) PoincarL, der (p. 22) den erwähnten indirekten Beweis anzudeuten scheint, sagt, daß jeder Beweis der fraglichen Schlußweise ein nur scheinbarer sei und ein ihrer Grundlage gleichwertiges Axiom voraussetze. 3 ) Da überhaupt ein Glied, das die Eigenschaft nicht besitzt, in der Reihe Vor kommen soll, d. h. also nach einer endlichen Zahl von Schritten in der Reihe auftreten muß, so gehen diesem Glied nur Glieder in endlicher Zahl voran, und man kann, wenn man die vorangehenden, die Eigenschaft nicht besitzenden Glieder ins Auge faßt, die auf Erschöpfung der Menge gegründete Betrachtungsweise von § 122 durch führen (vgl. auch den Schluß von § 123).

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