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Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

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fullscreen: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Monograph

Persistent identifier:: 1010320947

Author:: Kowalewski, Gerhard

Title:: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Sub title:: ein Lehr- und Übungsbuch für Studierende zur Einführung in die Infinitesimalrechnung : mit 109 Figuren im Text

Scope:: 1 Online-Ressource (VIII, 342 Seiten)

Edition title:: Zweite Auflage

Year of publication:: 1921

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Engelmann

Identifier (digital):: 1010320947

Illustration:: Diagramme

Signature of the source:: Mr.I 6053,2

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 32. Zerlegung in Teilreihen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen
Cover
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Title page
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Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Inhalt.
Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.
§ 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 2. Die Bernoullische Ungleichung.
§ 3. Unendliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 4. Die Limesrelation.
§ 5. Beschränkte und unbeschränkte monotone Folgen.
§ 6. Konvergente und divergente Reihen mit positiven Gliedern.
§ 7. Die Zahl e.
§ 8. Die einfachsten Sätze des Limeskalküls.
§ 9. Nochmals die Zahl e.
§ 10. Der Grenzwert von an.
§ 11. Das arithmetrisch-geometrische Mittel.
§ 12. Eine Grenzwertaufgabe von Wallis.
§ 13. Berechnung von p positiven Zahlen aus ihren Potenzsummen.
§ 14. Zwei Grenzwertsätze von Cauchy und lim [...].
§ 15. Beispiele zu den Cauchyschen Grenzwertsätzen.
§ 16. Der Grenzwert von [...].
§ 17. Wie Leibniz die logarithmische Kurve konstruiert.
§ 18. Eigenschaften von qx.
§ 19. Die Logarithmen.
§ 20. Grenzwert von (1 + x)[...], wenn x nach Null konvergiert.
§ 21. Grenzwert von (ax - 1): x, wenn x nach Null konvergiert.
§ 22. Aufgabe.
§ 23. Cauchys Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes.
§ 24. Die Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen.
§ 26. Cauchys allgemeines Konvergenzkriterium für unendliche Reihen.
§ 26. Sätze über unendliche Reihen.
§ 27. Die alternierenden Reihen.
§ 28. Absolut konvergente Reihen.
§ 29. Umordnung der Glieder in einer absolut konvergenten Reihe.
§ 30. Multiplikation absolut konvergenter Reihen.
§ 31. Ein Beispiel zur Multiplikation der Reihen.
§ 32. Zerlegung in Teilreihen.
§ 33. Johann Bernoullis Beweis für die Divergenz der Reihe 1 + [...] + [...] + ....
§ 34. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 35. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 36. Ein Konvergenzsatz von Cauchy.
§ 37. Das Konvergenzkriterium (log[...]): log n.
§ 38. Die Abelsche Umformung.
Zweites Kapitel. Differentialrechnung.
§ 39. Was ist eine Funktion?
§ 40. Geometrische Darstellung der Funktionen.
§ 41. Die elementaren Funktionen.
§ 42. Verhalten einer Funktion bei Grenzübergängen. Stetigkeit.
§ 43. Andere Formulierung der Stetigkeit.
§ 44. Bolzanos Satz über stetige Funktionen.
§ 45. Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.
§ 46. Die zu einer umkehrbaren stetigen Funktion gehörige Abbildung.
§ 47. Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit.
§ 48. Aufgaben.
§ 49. Die Dirichletschen Symbole [...](x + 0) und [...](x - 0).
§ 50. Differenzenquotient und Ableitung.
§ 51. Leibnizsche Regeln.
§ 52. Die Ableitung einer rationalen Funktion.
§ 53. Die Ableitungen von ax und Log x.
§ 54. Einige Tangentenkonstruktionen.
§ 55. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
§ 56. Die Ableitungen der zyklometrischen Funktionen.
§ 57. Die Ableitung von [...].
§ 58. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.
§ 59. Das Leibnizsche Differential.
§ 60. Die Ableitungen inverser Funktionen.
§ 61. Der Differenzenquotient gleich einem Wert der Ableitung.
§ 62. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz.
§ 63. Beispiele.
§ 64. Einige Beispiele aus Leibniz' ersten Arbeiten.
§ 65. Parameterdarstellung einer Kurve.
§ 66. Kurven in Polarkoordinaten.
§ 67. Zissoide, Konchoide und Quadratrix.
§ 68. Kurven mit übereinstimmenden Polarsubtangenten. Inversion.
§ 69. Epizykloiden und Hypozykloiden.
§ 70. Die höheren Ableitungen.
§ 71. Die Taylorsche Reihe.
§ 72. Potenzreihen für ex, cos x, sin x.
§ 73. Konvergenzbereich einer Potenzreihe.
§ 74. Differentiation einer Potenzreihe.
§ 75. Anwendungen der Differentiation der Potenzreihen.
§ 76. Anwendung der Potenzreihen zur Berechnung von Grenzwerten.
§ 77. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz.
§ 78. Die unbestimmten Ausdrücke 0 : 0 und [...] : [...].
§ 79. Maxima und Minima.
§ 80. Beispiele.
Funktionen von mehreren Veränderlichen.
Drittes Kapitel. Integralrechnung.
§ 88. Das Problem der Quadratur.
§ 89. Cauchys Existenzbeweis.
§ 90. Direkte Berechnung eines Integrals.
§ 91. Quadratur der Hyperbel.
§ 92. Quadratur der Logarithmica.
§ 93. Das Problem der Rektifikation.
§ 94. Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers.
§ 95. Die fundamentale Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung.
§ 96. Zusammenstellung von Integralformeln, die sich aus der Differentialrechnung ergeben.
§ 97. Eigenschaften des bestimmten Integrals.
§ 98. Einführung einer neuen Veränderlichen in ein Integral.
§ 99. Andere Ableitung der Transformationsregel.
§ 100. Bogenlänge einer Kurve, die in Parameterdarstellung gegeben ist.
§ 101. Evoluten und Evolventen.
§ 102. Partielle Integration.
§ 103. Beispiele.
§ 104. Herleitung der Taylorschen Formel durch partielle Integration.
§ 105. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Integration gewisser Klassen von Funktionen.
Integration unendlicher Reihen.
Uneigentliche Integrale.
Doppelintegrale.
Besprechungen.
Cover

Full text

Grenzwerte und Reihen. 
85 
Es ergibt sich anf diese Weise 
—- 1 ,- 5 = 1 + 3x + 6* 2 + IO® 3 + •••. 
(1 — x] A 
Die Koffizienten 1, 3, 6, 10, • • • sind die Partialsummen von 1, 2, 3, • • •. 
Sie sind also die figurierten Zahlen 2. Ordnung (vgl. S. 29). 
Durch Fortsetzung des Verfahrens findet man 
(i — ¿).+i = c « + c i x + <*** + • ■ • 
und c 0 , c,, c 2 , • • ■ sind die figurierten Zahlen n-ter Ordnung, d. h. 
. . 2-3 ... (»+!) . 3-4 • • • (» + 2) 
c 0 — 1, c t — t ' 2 ... n ’ c 2— 1.2... n 
Will man dies vollständig beweisen, so muß man den Schluß von n auf 
n + 1 anwenden. Da 
+ 2 = i 1 + X + + • • ’)( C 0 + OiX + C 2 £2 + * ■ 0 
= + i c o H~ c i) x ■+• ( c o + c i + ^l^ 2 + • • • 
ist, und c 0 , c 0 -f- c u c 0 + ( h + c 2, ••• gerade die figurierten Zahlen 
[n l)-ter Ordnung sind, so gilt unser Satz für den Fall n -f- 1, wenn er 
für den Fall n richtig ist. Nun haben wir aber bei j. 
konstatiert. Damit ist er allgemein bewiesen. ' 
xY 
seine Gültigkeit 
§ 32. Zerlegung in Teilreihen. 
Die Reihe u\ + 4“ u\ + • • • heißt eine Teilreihe der unendlichen 
Reihe u x 4- u 2 + u$ + • • •, wenn sie aus ihr durch Streichung gewisser Glieder 
hervorgeht. Wir lassen nicht nur unendliche, sondern auch endliche Teil 
reihen zu. Sogar ein einzelnes Glied u n wollen wir als Teilreihe ansehen. 
Ein (endliches oder unendliches) System von Teilreihen nennen wir eine 
Zerlegung der Reihe u x -f- u 2 -h + • • •, wenn jedes Glied der Reihe 
in einer und nur einer Teilreihe des Systems vorkommt. 
So ist z. B. 
% + u m 1 u m + l 4“ • • • 4“ u n 2 } • • • ( w l <C • • •) 
eine Zerlegung in unendlich viele endliche Reihen, 
u \ 4 H“ u 6 4" • • • > u i 4- w 4 4" ^-6 4“ • • • 
eine Zerlegung in zwei unendliche Reihen, 
+ M3 + % H , 
u \ ■ 2 4“ l H . 2 4“ M 6.2 ~h ’ ■ 
U\ . 22 4“ M 3 . 2 2 + u h . 2 2 i 
eine Zerlegung in unendlich viele unendliche Reihen.

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