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Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

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fullscreen: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Monograph

Persistent identifier:: 1010320947

Author:: Kowalewski, Gerhard

Title:: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Sub title:: ein Lehr- und Übungsbuch für Studierende zur Einführung in die Infinitesimalrechnung : mit 109 Figuren im Text

Scope:: 1 Online-Ressource (VIII, 342 Seiten)

Edition title:: Zweite Auflage

Year of publication:: 1921

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Engelmann

Identifier (digital):: 1010320947

Illustration:: Diagramme

Signature of the source:: Mr.I 6053,2

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen
Cover
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Title page
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Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Inhalt.
Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.
§ 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 2. Die Bernoullische Ungleichung.
§ 3. Unendliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 4. Die Limesrelation.
§ 5. Beschränkte und unbeschränkte monotone Folgen.
§ 6. Konvergente und divergente Reihen mit positiven Gliedern.
§ 7. Die Zahl e.
§ 8. Die einfachsten Sätze des Limeskalküls.
§ 9. Nochmals die Zahl e.
§ 10. Der Grenzwert von an.
§ 11. Das arithmetrisch-geometrische Mittel.
§ 12. Eine Grenzwertaufgabe von Wallis.
§ 13. Berechnung von p positiven Zahlen aus ihren Potenzsummen.
§ 14. Zwei Grenzwertsätze von Cauchy und lim [...].
§ 15. Beispiele zu den Cauchyschen Grenzwertsätzen.
§ 16. Der Grenzwert von [...].
§ 17. Wie Leibniz die logarithmische Kurve konstruiert.
§ 18. Eigenschaften von qx.
§ 19. Die Logarithmen.
§ 20. Grenzwert von (1 + x)[...], wenn x nach Null konvergiert.
§ 21. Grenzwert von (ax - 1): x, wenn x nach Null konvergiert.
§ 22. Aufgabe.
§ 23. Cauchys Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes.
§ 24. Die Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen.
§ 26. Cauchys allgemeines Konvergenzkriterium für unendliche Reihen.
§ 26. Sätze über unendliche Reihen.
§ 27. Die alternierenden Reihen.
§ 28. Absolut konvergente Reihen.
§ 29. Umordnung der Glieder in einer absolut konvergenten Reihe.
§ 30. Multiplikation absolut konvergenter Reihen.
§ 31. Ein Beispiel zur Multiplikation der Reihen.
§ 32. Zerlegung in Teilreihen.
§ 33. Johann Bernoullis Beweis für die Divergenz der Reihe 1 + [...] + [...] + ....
§ 34. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 35. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 36. Ein Konvergenzsatz von Cauchy.
§ 37. Das Konvergenzkriterium (log[...]): log n.
§ 38. Die Abelsche Umformung.
Zweites Kapitel. Differentialrechnung.
§ 39. Was ist eine Funktion?
§ 40. Geometrische Darstellung der Funktionen.
§ 41. Die elementaren Funktionen.
§ 42. Verhalten einer Funktion bei Grenzübergängen. Stetigkeit.
§ 43. Andere Formulierung der Stetigkeit.
§ 44. Bolzanos Satz über stetige Funktionen.
§ 45. Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.
§ 46. Die zu einer umkehrbaren stetigen Funktion gehörige Abbildung.
§ 47. Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit.
§ 48. Aufgaben.
§ 49. Die Dirichletschen Symbole [...](x + 0) und [...](x - 0).
§ 50. Differenzenquotient und Ableitung.
§ 51. Leibnizsche Regeln.
§ 52. Die Ableitung einer rationalen Funktion.
§ 53. Die Ableitungen von ax und Log x.
§ 54. Einige Tangentenkonstruktionen.
§ 55. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
§ 56. Die Ableitungen der zyklometrischen Funktionen.
§ 57. Die Ableitung von [...].
§ 58. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.
§ 59. Das Leibnizsche Differential.
§ 60. Die Ableitungen inverser Funktionen.
§ 61. Der Differenzenquotient gleich einem Wert der Ableitung.
§ 62. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz.
§ 63. Beispiele.
§ 64. Einige Beispiele aus Leibniz' ersten Arbeiten.
§ 65. Parameterdarstellung einer Kurve.
§ 66. Kurven in Polarkoordinaten.
§ 67. Zissoide, Konchoide und Quadratrix.
§ 68. Kurven mit übereinstimmenden Polarsubtangenten. Inversion.
§ 69. Epizykloiden und Hypozykloiden.
§ 70. Die höheren Ableitungen.
§ 71. Die Taylorsche Reihe.
§ 72. Potenzreihen für ex, cos x, sin x.
§ 73. Konvergenzbereich einer Potenzreihe.
§ 74. Differentiation einer Potenzreihe.
§ 75. Anwendungen der Differentiation der Potenzreihen.
§ 76. Anwendung der Potenzreihen zur Berechnung von Grenzwerten.
§ 77. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz.
§ 78. Die unbestimmten Ausdrücke 0 : 0 und [...] : [...].
§ 79. Maxima und Minima.
§ 80. Beispiele.
Funktionen von mehreren Veränderlichen.
Drittes Kapitel. Integralrechnung.
§ 88. Das Problem der Quadratur.
§ 89. Cauchys Existenzbeweis.
§ 90. Direkte Berechnung eines Integrals.
§ 91. Quadratur der Hyperbel.
§ 92. Quadratur der Logarithmica.
§ 93. Das Problem der Rektifikation.
§ 94. Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers.
§ 95. Die fundamentale Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung.
§ 96. Zusammenstellung von Integralformeln, die sich aus der Differentialrechnung ergeben.
§ 97. Eigenschaften des bestimmten Integrals.
§ 98. Einführung einer neuen Veränderlichen in ein Integral.
§ 99. Andere Ableitung der Transformationsregel.
§ 100. Bogenlänge einer Kurve, die in Parameterdarstellung gegeben ist.
§ 101. Evoluten und Evolventen.
§ 102. Partielle Integration.
§ 103. Beispiele.
§ 104. Herleitung der Taylorschen Formel durch partielle Integration.
§ 105. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Integration gewisser Klassen von Funktionen.
Integration unendlicher Reihen.
Uneigentliche Integrale.
Doppelintegrale.
Besprechungen.
Cover

Full text

Erstes Kapitel. 
Grenzwerte und Reihen. 
§ 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen. 
Wenn man zu einer Zahl a fortgesetzt dieselbe Zahl d hinzufügt, so 
ergibt sich 
a, a -f- d, a 2 d, 
Man nennt dies eine arithmetische Reihe mit dem Anfangsglied a 
(1) 
und der Differenz d. 
Multipliziert man die Zahl a fortgesetzt mit demselben Faktor q, so 
findet man 
(2) 
a, aq, aq 2 , • • •, 
Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied a und dem 
Q,uotienten q. 
Auf der Schule kommt schon die Aufgabe vor, die Summe einer w-glied- 
rigen arithmetischen oder geometrischen Reihe zu bestimmen. 
Wir wollen kurz auseinandersetzen, wie diese Summen berechnet werden, 
weil sie an späteren Stellen des Buches Vorkommen. 
Um 
s — ci —(- |ci -f- dj -J- • • • -)- [d —|- (n — 1)^} — fio> —|— (l -j- • • • -f- {fi — 
zu finden, genügt es, die Summe der n — 1 Zahlen 
1, 2, ■ • •, n — 1 zu bestimmen. Dies gelingt sofort, zziz: 
wenn man sich der folgenden Figur bedient. Wir be- 
nutzen als Einheit ein beliebiges Quadrat und legen 
der Reihe nach 1, 2, •••, n—1 solche Quadrate hin, ... ".izzizz 
so wie es die schraffierten Quadrate der Figur zeigen. : 
Nehmen wir dann noch einmal so viele Quadrate, so ■■■, ■- ■ 
können wir damit die unschraffierten Quadrate der Figur ~ 
bedecken und behalten noch n — 1 Quadrate übrig. Es p. ^ 
ist mit andern Worten s ' 
2 (1 -|- 2 4- n — 1) s= [n l) 2 -J- n — 1 = n[n — 1) 
also 
1 + 2 H h n 
n[n — 1) 
2 ~ 
und 
Kowalewski, Analysis des Unendlichen. 2. Aufl. 
1

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