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Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

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Bibliographic data

fullscreen: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Monograph

Persistent identifier:: 1010320947

Author:: Kowalewski, Gerhard

Title:: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Sub title:: ein Lehr- und Übungsbuch für Studierende zur Einführung in die Infinitesimalrechnung : mit 109 Figuren im Text

Scope:: 1 Online-Ressource (VIII, 342 Seiten)

Edition title:: Zweite Auflage

Year of publication:: 1921

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Engelmann

Identifier (digital):: 1010320947

Illustration:: Diagramme

Signature of the source:: Mr.I 6053,2

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Zweites Kapitel. Differentialrechnung.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 70. Die höheren Ableitungen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen
Cover
ColorChart
Title page
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Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Inhalt.
Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.
§ 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 2. Die Bernoullische Ungleichung.
§ 3. Unendliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 4. Die Limesrelation.
§ 5. Beschränkte und unbeschränkte monotone Folgen.
§ 6. Konvergente und divergente Reihen mit positiven Gliedern.
§ 7. Die Zahl e.
§ 8. Die einfachsten Sätze des Limeskalküls.
§ 9. Nochmals die Zahl e.
§ 10. Der Grenzwert von an.
§ 11. Das arithmetrisch-geometrische Mittel.
§ 12. Eine Grenzwertaufgabe von Wallis.
§ 13. Berechnung von p positiven Zahlen aus ihren Potenzsummen.
§ 14. Zwei Grenzwertsätze von Cauchy und lim [...].
§ 15. Beispiele zu den Cauchyschen Grenzwertsätzen.
§ 16. Der Grenzwert von [...].
§ 17. Wie Leibniz die logarithmische Kurve konstruiert.
§ 18. Eigenschaften von qx.
§ 19. Die Logarithmen.
§ 20. Grenzwert von (1 + x)[...], wenn x nach Null konvergiert.
§ 21. Grenzwert von (ax - 1): x, wenn x nach Null konvergiert.
§ 22. Aufgabe.
§ 23. Cauchys Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes.
§ 24. Die Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen.
§ 26. Cauchys allgemeines Konvergenzkriterium für unendliche Reihen.
§ 26. Sätze über unendliche Reihen.
§ 27. Die alternierenden Reihen.
§ 28. Absolut konvergente Reihen.
§ 29. Umordnung der Glieder in einer absolut konvergenten Reihe.
§ 30. Multiplikation absolut konvergenter Reihen.
§ 31. Ein Beispiel zur Multiplikation der Reihen.
§ 32. Zerlegung in Teilreihen.
§ 33. Johann Bernoullis Beweis für die Divergenz der Reihe 1 + [...] + [...] + ....
§ 34. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 35. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 36. Ein Konvergenzsatz von Cauchy.
§ 37. Das Konvergenzkriterium (log[...]): log n.
§ 38. Die Abelsche Umformung.
Zweites Kapitel. Differentialrechnung.
§ 39. Was ist eine Funktion?
§ 40. Geometrische Darstellung der Funktionen.
§ 41. Die elementaren Funktionen.
§ 42. Verhalten einer Funktion bei Grenzübergängen. Stetigkeit.
§ 43. Andere Formulierung der Stetigkeit.
§ 44. Bolzanos Satz über stetige Funktionen.
§ 45. Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.
§ 46. Die zu einer umkehrbaren stetigen Funktion gehörige Abbildung.
§ 47. Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit.
§ 48. Aufgaben.
§ 49. Die Dirichletschen Symbole [...](x + 0) und [...](x - 0).
§ 50. Differenzenquotient und Ableitung.
§ 51. Leibnizsche Regeln.
§ 52. Die Ableitung einer rationalen Funktion.
§ 53. Die Ableitungen von ax und Log x.
§ 54. Einige Tangentenkonstruktionen.
§ 55. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
§ 56. Die Ableitungen der zyklometrischen Funktionen.
§ 57. Die Ableitung von [...].
§ 58. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.
§ 59. Das Leibnizsche Differential.
§ 60. Die Ableitungen inverser Funktionen.
§ 61. Der Differenzenquotient gleich einem Wert der Ableitung.
§ 62. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz.
§ 63. Beispiele.
§ 64. Einige Beispiele aus Leibniz' ersten Arbeiten.
§ 65. Parameterdarstellung einer Kurve.
§ 66. Kurven in Polarkoordinaten.
§ 67. Zissoide, Konchoide und Quadratrix.
§ 68. Kurven mit übereinstimmenden Polarsubtangenten. Inversion.
§ 69. Epizykloiden und Hypozykloiden.
§ 70. Die höheren Ableitungen.
§ 71. Die Taylorsche Reihe.
§ 72. Potenzreihen für ex, cos x, sin x.
§ 73. Konvergenzbereich einer Potenzreihe.
§ 74. Differentiation einer Potenzreihe.
§ 75. Anwendungen der Differentiation der Potenzreihen.
§ 76. Anwendung der Potenzreihen zur Berechnung von Grenzwerten.
§ 77. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz.
§ 78. Die unbestimmten Ausdrücke 0 : 0 und [...] : [...].
§ 79. Maxima und Minima.
§ 80. Beispiele.
Funktionen von mehreren Veränderlichen.
Drittes Kapitel. Integralrechnung.
§ 88. Das Problem der Quadratur.
§ 89. Cauchys Existenzbeweis.
§ 90. Direkte Berechnung eines Integrals.
§ 91. Quadratur der Hyperbel.
§ 92. Quadratur der Logarithmica.
§ 93. Das Problem der Rektifikation.
§ 94. Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers.
§ 95. Die fundamentale Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung.
§ 96. Zusammenstellung von Integralformeln, die sich aus der Differentialrechnung ergeben.
§ 97. Eigenschaften des bestimmten Integrals.
§ 98. Einführung einer neuen Veränderlichen in ein Integral.
§ 99. Andere Ableitung der Transformationsregel.
§ 100. Bogenlänge einer Kurve, die in Parameterdarstellung gegeben ist.
§ 101. Evoluten und Evolventen.
§ 102. Partielle Integration.
§ 103. Beispiele.
§ 104. Herleitung der Taylorschen Formel durch partielle Integration.
§ 105. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Integration gewisser Klassen von Funktionen.
Integration unendlicher Reihen.
Uneigentliche Integrale.
Doppelintegrale.
Besprechungen.
Cover

Full text

188 
Zweites Kapitel. 
/ co 
x c — a o ( cos — 
\ a o 
. co 
Vi = «0 sm — 
»0 
. i . CO - . (co co\] 
-f- «(sm sin I 1} • 
«o \«o a 
Im Falle lim a 0 — co oder lim a 0 — — co wird 
lim a 0 sin — = co, lim |« 0 (cos — 1 = — 2 lim la 0 sin 2 = 0, 
CIq [ \ CIq II \ 2(Zq/ 
mithin 
lim^ = a 11 — cos , lim?/! = co — a sin • 
Die Punkte limx 1? lim?/! bilden also die Kurve 
x l — a[ 1 — cos f], y i = a[t — sin t]. 
Das ist eine Zykloide, nur auf andere Achsen als in § 59 bezogen. 
§ 70. Die höheren Ableitungen. 
Die Ableitung von f'{x) nennt man die zweite Ableitung von f[x) 
und schreibt dafür f"{x). Die Ableitung von f" [x] wird mit f"{x) bezeichnet 
und heißt die dritte Ableitung von f[x) usw. Hiernach ist 
df[x) = f {x) dx , df (x) = f [x] dx , df" {x) = f" [x) dx , 
Wenn man mit Leibniz das Differential der unabhängigen Veränderlichen 
x als konstant ansieht, so folgt aus diesen Gleichungen 
ddf[x) oder d 2 f(x) = df (x) ■ dx = f" [x) dx 2 , 
dd 2 f{x) oder d 3 f{x) = df"[x) • dx 2 = f”[x) dx 3 , 
und man kann schreiben 
/» = 
df{x) 
dx ’ 
f\x) = 
d 2 f[x) 
dx 2 ’ 
f"{x) = 
d 3 f[x) 
dx 3 ’ 
d n f[x) nennt Leibniz das w-te Differential von f[x). Dividiert man das 
n-te Differential von f(x) durch die n-te Potenz von dx, so erhält man die 
??-te Ableitung von fix). 
Während das erste Differential seine Form nicht ändert, wenn x aufhört 
die unabhängige Veränderliche zu sein, haben die höheren Differentiale diese 
Invarianteneigenschaft nicht mehr. Man hat nämlich nach der Leibniz sehen 
Produktregel und Summenregel (vgl. § 51): 
d 2 f[x) = d{f(x) dx) 
— f[x) dx 2 + f{x] d 2 x, 
d 3 f[x) = d{f"{x) dx 2 + f [x] d 2 x) 
= f"'[x] dx 3 + Sf'{x) dxd 2 x-\- f{x) d 3 x,

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Rebber, Deckert. Anlage Und Einrichtung Von Fabriken. Bernhard Friedrich Voigt, 1888.

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