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Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

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fullscreen: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Monograph

Persistent identifier:: 1010320947

Author:: Kowalewski, Gerhard

Title:: Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen

Sub title:: ein Lehr- und Übungsbuch für Studierende zur Einführung in die Infinitesimalrechnung : mit 109 Figuren im Text

Scope:: 1 Online-Ressource (VIII, 342 Seiten)

Edition title:: Zweite Auflage

Year of publication:: 1921

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Engelmann

Identifier (digital):: 1010320947

Illustration:: Diagramme

Signature of the source:: Mr.I 6053,2

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Drittes Kapitel. Integralrechnung.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 89. Cauchys Existenzbeweis.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen
Cover
ColorChart
Title page
Title page
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Inhalt.
Erstes Kapitel. Grenzwerte und Reihen.
§ 1. Endliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 2. Die Bernoullische Ungleichung.
§ 3. Unendliche arithmetische und geometrische Reihen.
§ 4. Die Limesrelation.
§ 5. Beschränkte und unbeschränkte monotone Folgen.
§ 6. Konvergente und divergente Reihen mit positiven Gliedern.
§ 7. Die Zahl e.
§ 8. Die einfachsten Sätze des Limeskalküls.
§ 9. Nochmals die Zahl e.
§ 10. Der Grenzwert von an.
§ 11. Das arithmetrisch-geometrische Mittel.
§ 12. Eine Grenzwertaufgabe von Wallis.
§ 13. Berechnung von p positiven Zahlen aus ihren Potenzsummen.
§ 14. Zwei Grenzwertsätze von Cauchy und lim [...].
§ 15. Beispiele zu den Cauchyschen Grenzwertsätzen.
§ 16. Der Grenzwert von [...].
§ 17. Wie Leibniz die logarithmische Kurve konstruiert.
§ 18. Eigenschaften von qx.
§ 19. Die Logarithmen.
§ 20. Grenzwert von (1 + x)[...], wenn x nach Null konvergiert.
§ 21. Grenzwert von (ax - 1): x, wenn x nach Null konvergiert.
§ 22. Aufgabe.
§ 23. Cauchys Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes.
§ 24. Die Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen.
§ 26. Cauchys allgemeines Konvergenzkriterium für unendliche Reihen.
§ 26. Sätze über unendliche Reihen.
§ 27. Die alternierenden Reihen.
§ 28. Absolut konvergente Reihen.
§ 29. Umordnung der Glieder in einer absolut konvergenten Reihe.
§ 30. Multiplikation absolut konvergenter Reihen.
§ 31. Ein Beispiel zur Multiplikation der Reihen.
§ 32. Zerlegung in Teilreihen.
§ 33. Johann Bernoullis Beweis für die Divergenz der Reihe 1 + [...] + [...] + ....
§ 34. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 35. Das Konvergenzkriterium [...].
§ 36. Ein Konvergenzsatz von Cauchy.
§ 37. Das Konvergenzkriterium (log[...]): log n.
§ 38. Die Abelsche Umformung.
Zweites Kapitel. Differentialrechnung.
§ 39. Was ist eine Funktion?
§ 40. Geometrische Darstellung der Funktionen.
§ 41. Die elementaren Funktionen.
§ 42. Verhalten einer Funktion bei Grenzübergängen. Stetigkeit.
§ 43. Andere Formulierung der Stetigkeit.
§ 44. Bolzanos Satz über stetige Funktionen.
§ 45. Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.
§ 46. Die zu einer umkehrbaren stetigen Funktion gehörige Abbildung.
§ 47. Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit.
§ 48. Aufgaben.
§ 49. Die Dirichletschen Symbole [...](x + 0) und [...](x - 0).
§ 50. Differenzenquotient und Ableitung.
§ 51. Leibnizsche Regeln.
§ 52. Die Ableitung einer rationalen Funktion.
§ 53. Die Ableitungen von ax und Log x.
§ 54. Einige Tangentenkonstruktionen.
§ 55. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.
§ 56. Die Ableitungen der zyklometrischen Funktionen.
§ 57. Die Ableitung von [...].
§ 58. Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.
§ 59. Das Leibnizsche Differential.
§ 60. Die Ableitungen inverser Funktionen.
§ 61. Der Differenzenquotient gleich einem Wert der Ableitung.
§ 62. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz.
§ 63. Beispiele.
§ 64. Einige Beispiele aus Leibniz' ersten Arbeiten.
§ 65. Parameterdarstellung einer Kurve.
§ 66. Kurven in Polarkoordinaten.
§ 67. Zissoide, Konchoide und Quadratrix.
§ 68. Kurven mit übereinstimmenden Polarsubtangenten. Inversion.
§ 69. Epizykloiden und Hypozykloiden.
§ 70. Die höheren Ableitungen.
§ 71. Die Taylorsche Reihe.
§ 72. Potenzreihen für ex, cos x, sin x.
§ 73. Konvergenzbereich einer Potenzreihe.
§ 74. Differentiation einer Potenzreihe.
§ 75. Anwendungen der Differentiation der Potenzreihen.
§ 76. Anwendung der Potenzreihen zur Berechnung von Grenzwerten.
§ 77. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz.
§ 78. Die unbestimmten Ausdrücke 0 : 0 und [...] : [...].
§ 79. Maxima und Minima.
§ 80. Beispiele.
Funktionen von mehreren Veränderlichen.
Drittes Kapitel. Integralrechnung.
§ 88. Das Problem der Quadratur.
§ 89. Cauchys Existenzbeweis.
§ 90. Direkte Berechnung eines Integrals.
§ 91. Quadratur der Hyperbel.
§ 92. Quadratur der Logarithmica.
§ 93. Das Problem der Rektifikation.
§ 94. Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers.
§ 95. Die fundamentale Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung.
§ 96. Zusammenstellung von Integralformeln, die sich aus der Differentialrechnung ergeben.
§ 97. Eigenschaften des bestimmten Integrals.
§ 98. Einführung einer neuen Veränderlichen in ein Integral.
§ 99. Andere Ableitung der Transformationsregel.
§ 100. Bogenlänge einer Kurve, die in Parameterdarstellung gegeben ist.
§ 101. Evoluten und Evolventen.
§ 102. Partielle Integration.
§ 103. Beispiele.
§ 104. Herleitung der Taylorschen Formel durch partielle Integration.
§ 105. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Integration gewisser Klassen von Funktionen.
Integration unendlicher Reihen.
Uneigentliche Integrale.
Doppelintegrale.
Besprechungen.
Cover

Full text

Integralrechnung. 
255 
Die linke Seite bezeichnet man nach Leibniz mit 
(„Integral f[x) dx“) 
und Fourier hat dafür die präzisere Schreibweise 
f if{%) dx („; 
(„Integral % bis f{x) dx“) 
ai 
eingeführt. 
Das Integralzeichen ist nichts anderes als ein S, der Anfangsbuchstabe 
des Wortes Summe. Das Leibniz-Fouriersche Symbol des Integrals hat 
den Vorteil an die Entstehung des Integrals zu erinnern. (a A a 2 ) wird in 
Teilintervalle ¿dx zerlegt, jedes Teilintervall mit einem darin vorkommenden 
Funktionswert f[x) multipliziert, und dann wird die Summe dieser Produkte 
f[x)/ix gebildet. Ihr Grenzwert bei unendlicher Verkleinerung der Teil 
intervalle ist das Integral. 
Man pflegte dies früher in folgender Weise auszudrücken: (a 1? a 2 ) wird 
in unendlich viele unendlich kleine Intervalle dx geteilt und jedes von ihnen 
mit einem darin vorkommenden Funktionswert f[x) multipliziert. Die Summe 
dieser Produkte f[x) dx ist das Integral. Daß dieses Integral den Flächen 
inhalt @ darstellt, machte man sich so klar. Über jedem dx steht ein un 
endlich schmaler Streifen von @, den man als ein Rechteck mit der Höhe f{x) 
betrachten kann. Diese Auffassung hatte z. B. Keppler. 
Heutzutage läßt man sie nicht mehr gelten, weil sie mit dem Unendlich 
kleinen umgeht, als wäre es eine Zahl wie jede andere. 
§ 89. Cauchys Existenzbeweis. 
In § 88 sahen wir, daß bei einer stetigen Funktion die innere und die 
äußere Rechtecksumme einem gemeinsamen Grenzwert zustreben, wenn man das 
betrachtete Intervall einer ausgezeichneten Folge von Zerlegungen unterwirft. 
Wir operierten aber dabei mit dem Inhalt des Gebiets @, und das kann 
man beanstanden. Denn der Inhalt eines solchen Gebiets ist noch gar nicht 
definiert. Was sollen wir darunter verstehen? Zunächst können wir über 
haupt nur bei geradlinig begrenzten Gebieten von einem Inhalt reden. 
Es ist daher erwünscht, die Existenz des gemeinsamen Grenzwertes von 
SC3) un d 21(3) nachzuweisen, ohne von dem Inhalt des Gebiets @ zu 
reden. Einen solchen Existenzbeweis hat Cauchy gegeben. 
3 entstehe aus 3 dadurch, daß ein Teilintervall von 3; z. B. (or, ß), in 
zwei Teile («, y), (y, ß) zerlegt wird, also durch Hinzufügung eines neuen 
Teilpunktes. An die Stelle von 
tritt dann 
iß — «) M{a, ß) = (y — a) M{a, ß) + [ß — y) M{a, ß) 
ist, so folgt 
Da nun 
(y — a) M (a, y) -t— {ß — y) M (y, ß). 
M{a, y) ^ M{a, ß) und M[y, ß) S M{a, ß) 
«(S)^«(8). 
■■■

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Kowalewski, Gerhard. Die Klassischen Probleme Der Analysis Des Unendlichen. Engelmann, 1921.

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