Gesammelte mathematische Abhandlungen: Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen, hyperelliptische und Abelsche Funktionen, Riemannsche Funktionentheorie und automorphe Funktionen, Anhang Verschiedene Verzeichnisse

Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen, hyperelliptische und Abelsche Funktionen, Riemannsche Funktionentheorie und automorphe Funktionen, Anhang Verschiedene Verzeichnisse (3. Band)

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 101432291X

Author:: Lilienthal, Reinhold

Title:: Grundlagen einer Krümmungslehre der Curvenscharen

Scope:: 1 Online-Ressource (VII, 114 Seiten)

Year of publication:: 1896

Place of publication:: Leipzig

Identifier (digital):: 101432291X

Language:: German

Publisher of the original:: Teubner

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2018

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Zweiter Theil. Doppelt unendliche Curvenschar, festgelegt durch endliche Gleichungen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: § 5. Zur Theorie der geradlinigen Strahlensysteme.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

150 Elliptische Funktionen, insbesondere Modalfunktionen. sind und die sich auf die zweite Serie von Untergruppen vom Index 11 bezieht, die Betti a. a. 0. ebenfalls angibt. Da sich aber für sie alle Betrachtungen ganz geradeso gestalten, wie für die y v ,f v , so werde ich sie in der Folge durchaus beiseite lassen. — Als elfwertige Funktionen nullter Dimension werde ich später gebrauchen. fy_ V und <Pv V * §0. Spezialisierung des ¿/-Problems. Für unseren speziellen Zweck bedürfen wir nicht des allgemeinen „Problems der t/“: in der Schlußgleichung J — F(z), die wir suchen, soll nur der eine Parameter J Vorkommen. Es handelt sich also darum, aus der vierfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit der y i '.y i ’. y h : y 9 : y.. nunmehr in richtiger Weise eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, eine Kurve, auszuschneiden, die bei den 600 Kollineationen in sich übergeht, und das spezielle auf sie bezügliche „Problem der y“ durchzuführen. Von dieser Kurve wissen wir, daß sie das Bild der Galoisschen Resolvente der Transformationsgleichung sein muß. Nun ist, wie ich früher ausführte (Math. Annalen, Bd. 14(1878/70) [= Abh. LXXXII, S. 55 dieses Bandes]), die Galoissche Resolvente vorgestellt durch eine Rie mannsche Fläche, die 660-blättrig über der Ebene J ausgebreitet ist und deren Blätter bei J — 0 zu je drei, bei J = 1 zu je zwei, bei J — oc zu je elf, sonst aber nirgends Zusammenhängen, deren Geschlecht also = 20 ist 9 ). Auf unserer Kurve muß es dementsprechend eine rationale Funktion J geben, welche jeden Wert in 600 und nur in 660 solchen Punkten an nimmt, die durch die 660 Kollineationen auseinander hervorgehen; es darf unter diesen Gruppen von je 660 zusammengehörigen Punkten nur drei geben, welche aus einer geringeren Zahl von mehrfach zählenden Punkten bestehen: eine Gruppe von 220 dreifach zählenden Punkten, eine von 330 zweifach zählenden und eine von 60 elffach zählenden. Das Geschlecht der Kurve ist natürlich auch gleich 26. — Beachten wir ferner die Glei chung (1) J = F[z). Sie sagt vor allen Dingen aus, daß es auf unserer Kurve eine rationale Funktion z gibt, welche jeden Wert in 60 und nur in solchen 60 Punkten annimmt, die durch die Kollineationen einer Unter gruppe vom Index 11 auseinander hervorgehen. Die weiteren Eigen schaften der Funktion F: daß F(z) eine rationale ganze Funktion elften Grades ist, daß es einen kubischen Faktor kubisch und F(z) — 1 einen 9 ) [Vgl- die ergänzende Bemerkung Nr. 1 auf S. 166 am Schluß dieser Arbeit.]

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