Leçons sur les séries trigonométriques

Lebesgue, Henri

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 1025488407

Author:: Lebesgue, Henri

Title:: Leçons sur les séries trigonométriques

Scope:: 1 Online-Ressource (128 Seiten)

Year of publication:: 1906

Place of publication:: Paris

Publisher of the original:: Gauthier-Villars

Identifier (digital):: 1025488407

Signature of the source:: Mr.I 7010

Language:: French

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2018

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: CHAPITRE V. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES QUELCONQUES.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

CHAPITRE Y. SÉRIES TRI GO ISOMÉTRIQUES QUELCONQUES. Les recherches exposées dans ce dernier Chapitre continuent et complètent celles dont il a été question au Chapitre II ; comme celles-ci, elles ont pour but principal de nous faire connaître quelles peuvent être les séries trigonométriques représentant des fonctions données. 57. Théorème de M. Georg Cantor. — Lorsqu’une série trigonométrique est convergente pour tous les points d’un in tervalle, ses coefficients tendent vers zéro. Cela sera évidem ment prouvé si nous démontrons que la série trigonométrique dont le terme général est p n cosn(x — a n ) ne peut converger que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle lorsque p„ ne tend pas vers zéro quand n croît. En effet, lorsqu’il en est ainsi, on peut trouver une suite croissante d’entiers ni tels que les nombres p„. correspondants soient tous supérieurs à un nombre fixe m diffé rent de zéro, s étant arbitrairement choisi positif, le nombre | p„.cosni(x — a„.) | surpasse s, sauf pour des valeurs de x qui forment, pour o << x -< 271, un ensemble de mesure au plus égale à 7) = 4 arc sin-^? et nous devons en conclure (n° 9) que la mesure de l’ensemble des points de convergence est au plus r,. Notre théorème est ainsi démontré, car t\ tend vers zéro avec s. Ce théorème, que Riemann semble avoir considéré comme évi dent, a été démontré pour la première fois par M. G. Cantor ( ' ). (') Journal de Creile, t. 72; Math. Annalen, t. IV; Acta mathematica, t. IL

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