Synthetische Zahlentheorie

fueter, rudolf

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 898804698

Author:: Fueter, Rudolf

Title:: Synthetische Zahlentheorie

Scope:: 1 Online-Ressource (VIII, 270 Seiten)

Year of publication:: 1917

Place of publication:: Berlin[u.a.]

Publisher of the original:: Göschen

Identifier (digital):: 898804698

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: V. Kapitel. Die Aufstellung der Primideale.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Die Aufstellung der Primideale gelingt mit Hilfe der im II. Kapitel entwickelten Begriffe und Sätze. Damit wird die enge Verwandtschaft zwischen den Körpern K und k bezeugt; jeder Eigenschaft des einen Körpers entspricht eine solche des andern. Einen ersten Aufschluß über die Art der Primideale erhalten wir durch folgende Tatsache: 1. Satz. Die kleinste natürliche positive Zahl, die ein Primideal enthält, ist eine rationale Primzahl. Wäre nämlich n = n x n 2 (0 < n x < n, 0 < n 2 < n) die kleinste natür liche Zahl, die in einem Primideale ^ enthalten ist, so tritt jede Zahl wn in $ auf, falls ca die ganzen Zahlen von K durchläuft. Also ist ^ß ein Teiler von (n) = (rij) (w 2 ), und es muß nach Satz 20 des vorigen Kapitels Seite 123 entweder (n x ) oder (n 2 ) durch ^ß teilbar sein. Wäre z. B. (n x ) durch ^ teilbar, so wäre auch die Zahl n x < n in ^ß enthalten, entgegen der ge machten Voraussetzung. Somit ist n eine Primzahl. Die in einem Prim ideal enthaltene kleinste Zahl bezeichnen wir stets mit demselben Buch staben wie das Primideal selbst, nur in dem kleinen lateinischen Alphabete. In $ ist somit die Primzahl p enthalten, und umgekehrt ist wegen Satz 16, Kapitel IV, $ ein Teiler von (p). 2. Satz. Alle natürlichen Zahlen in $ sind Vielfache vonp. Wäre nämlich n in nicht durch p teilbar, so gäbe es zwei natür liche Zahlen x und y, für die p x + n y = 1 ist, d. h. die Zahl 1 wäre in ^ß enthalten, was unmöglich ist. 3. Satz. Zahlen, die einander (mod. p) kongruent sind, sind es um so mehr (mod. ^ß). Ist a—ß = 0 (mod. p), so ist a — ß in mod. p enthalten, und da # alle Zahlen von (p) auch in $ sind, muß cc — ß in mod. $ auftreten. Beispiele: V. Kapitel. Die Aufstellung der Primideale. § 1. Allgemeines. Durch diese Sätze kommt man dem Problem der Zerlegung eines

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