G. Lejeune Dirichlet's Werke: G. Lejeune Dirichlet's Werke

Fuchs, Lazarus; Kronecker, Leopold; Lejeune Dirichlet, Peter Gustav

Bibliographic data

Multivolume work

Persistent identifier:: 893986666

Author:: Lejeune Dirichlet, Peter Gustav

Title:: G. Lejeune Dirichlet's Werke

Sub title:: in zwei Bänden

Type of content:: Aufsatzsammlung

Year of publication:: 1889

Place of publication:: Berlin

Publisher of the original:: Druck und Verlag von Georg Reimer

Identifier (digital):: 893986666

Language:: German

Additional Notes:: Herausgeber von Band 2: L. Fuchs

Editor:: Kronecker, Leopold; Fuchs, Lazarus

Document type:: Multivolume work

Volume

Persistent identifier:: 894602608

Author:: Lejeune Dirichlet, Peter Gustav

Title:: G. Lejeune Dirichlet's Werke

Scope:: X, 422 Seiten

DOI:: 10.14463/GBV:894602608

Year of publication:: 1897

Place of publication:: Berlin

Publisher of the original:: Druck und Verlag von Georg Reimer

Identifier (digital):: 894602608

Signature of the source:: Mr.I 1800(2)

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Editor:: Fuchs, Lazarus; Kronecker, Leopold

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Volume

Collection:: Mathematics

Section

Title:: I. ABTHEILUNG, ENTHALTEND DIE VON G. LEJEUNE DIRICHLET SELBST VERÖFFENTLICHTEN ARBEITEN. (FORTSETZUNG.)

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Section

Chapter

Title:: [I.] ÜBER DIE STABILITÄT DES GLEICHGEWICHTS.

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Chapter

ÜBER DIE STABILITÄT DES GLEICHGEWICHTS. 7 vollständigen Kriterien für diese letztere Bedingung sind bisher, selbst wenn es sich um die vierte Ordnung handelt, nicht aufgestellt worden (Théorie des fonctions, seconde partie, no. 57); sie wären daher vor Allem aufzusuchen; was nothwendig in den Beweis des mechanischen Satzes grosse Complication bringen würde. Glücklicherweise lässt sich das Princip der Stabilität des Gleichgewichts unabhängig von diesen Kriterien und durch höchst einfache, unmittelbar an den Begriff des Maximums anknüpfende Betrachtungen nachweisen. Indem wir die obige Voraussetzung beibehalten, dass die Gleichgewichts lage verschwindenden Werth en von 2, ju, v, . . . entspricht, machen wir noch die zweite: dass der Werth von y(0,0,0,...) ebenfalls Null ist; was wegen der willkürlichen Constante gestattet ist. Bestimmt man nun die Constante aus dem gegebenen Anfangszustande, für welchen v, 2, p, v, . . . mit v 0 , 2 0 , ¡a 0 , v 0 , ... bezeichnet werden sollen, so erhält man: Zmv 2 = 5p(A, fi, v, ...)—(p(X 0 , fi 0 , v 0 , .. .)-f Vermöge der Annahme, dass <p(2, /u, v, ...) für 2 — 0, /u = 0, v = 0, ... ein Maximum ist, dessen Werth selbst verschwindet, lassen sich nun immer so kleine positive Grössen l, m, n, ... angeben, dass für jedes System 2, ¡u, v, . . ., wenn die Zahlenwerthe dieser Variabein respective nicht grösser als l, m, n, . . . sind, <p{2, /bv, v, ...) stets negativ ist; den einzigen Fall ausgenommen, wo 2, ¿u, v, . . . gleichzeitig verschwinden. Dieser Fall wird ausgeschlossen, wenn wir nur solche Systeme betrachten, in welchen wenigstens eine der Variabein 2, /u, v, . . ., ab gesehen vom Zeichen, ihrer Grenze l, m, n, . . . gleich ist. Ist von allen diesen negativen Werthen der Function, —p, abgesehen vom Zeichen, der kleinste, so lässt sich leicht zeigen, dass, wenn 2 0 , ju 0 , v 0 , . . . numerisch kleiner als l, m, n, ... genommen werden und zugleich der Bedingung: —sKA, 'ün ...)+^ w <<t Genüge geschieht, jede der Variabein 2, ¡u, v, . . . im Laufe der Bewegung numerisch unter ihrer Grenze l, m, n, ... bleiben wird. Fände das Gegentheil statt, so müsste, da die anfänglichen Werthe 2 0 , ¡u 0 , v Q , ... der Voraussetzung nach die eben ausgesprochene Bedingung erfüllen und bei der Stetigkeit der Variabein 2, ¡u, v, . . C), zu einer gewissen Zeit zuerst Gleichheit zwischen einem oder mehreren der Zahlenwerthe von 2, /u, v, . . . und der entsprechenden Grenze l, m, n, . . . eintreten, ohne dass einer der übrigen diese noch über schritten hätte. Für diesen Zeitpunkt wäre der negative Werth von cp(2, ¡u, v, ...) ] ) Die Worte „und bei der Stetigkeit der Variabeln X, fJ, v, ...“ fehlen im Akademie-Bericht. K.

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