Synopsis der hoeheren Mathematik: Differential- und Integralrechnung

Hagen, Johann Georg

Bibliographic data

Multivolume work

Persistent identifier:: 1002299500

Author:: Hagen, Johann Georg

Title:: Synopsis der hoeheren Mathematik

Year of publication:: 1894

Place of publication:: Berlin

Identifier (digital):: 1002299500

Language:: German

Additional Notes:: Bände 1-4 erschienen von 1891-1930

Publisher of the original:: Verlag von Felix L. Dames

Document type:: Multivolume work

Volume

Persistent identifier:: 1002300320

Author:: Hagen, Johann Georg

Title:: Differential- und Integralrechnung

Scope:: 1 Online-Ressource (VI, 471 Seiten)

Year of publication:: 1905

Place of publication:: Berlin

Identifier (digital):: 1002300320

Language:: German

Publisher of the original:: Verlag von Felix L. Dames

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Volume

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: VIII. Abschnitt. Partielle Differentialgleichungen.

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: II. Hauptstück. Integrale der partiellen Differentialgleichungen.

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Chapter

332 YIII. Abschnitt. Partielle Differentialgleichungen. die genauere Formulierung dieser Definition im Einzelnen begegnet man aber noch Meinungsver schiedenheiten. Zusatz (1). Eine Definition des „allgemeinen“ Integrals wurde von Ampere versucht (J. Ec. Polyt. t. 10, cah. 17, 1815, pp. 549—611, mit Anwendungen im t. 11, cah. 18, pp. 1—188). Nach ihm ist ein Integral einer Differentialgleichung „allgemein“, wenn es eine solche Anzahl willkürlicher Grössen enthält, dass durch deren Elimination aus dem Integral und seinen ins Unbestimmte fort fortgesetzten Derivirten nur solche Beziehungen entstehen, welche durch die Differentialgleichung selbst und ihre Abgeleiteten gegeben sind (t. 10, p. 551). Andererseits aber will er das Lagrange'sehe „vollständige“ Integrale einfach als „partikuläres“ Integral angesehen wissen (t. 10. pp. 552—555). In Wirklichkeit umfasst jedoch die Ampère'sehe Definition sowohl das vollständige wie das allgemeine Integral von Lagrange. Zusatz (2). Die Ampere'sehe Definition des „allgemeinen“ Integrals wurde von Darhoux dahin erweitert, dass ein Integral „allgemein“ zu nennen ist, wenn man über seine willkürlichen Elemente (Konstanten oder Funktionen) so verfügen kann, dass sich aus ihm alle und nur die Integrale ab leiten lassen, welche Cauchy's Aufgabe genügen, das heisst das Differential System befriedigen und zugleich gegebene Anfangsbedingungen erfüllen („Surfaces“ II, 1889, art. 367). Diese Definition des „allgemeinen“ Integrals ist nach Goursat umfassender als die Ampère'sehe (Leçons 1896 no. 18, und 1898 no. 178—179). Erörterungen über diese Frage findet man in Darhoux's Bulletin (t. 19, 1899 I, p. 55 von Delassus, u. p. 126 von Bord). Zusatz (3). Die ausschliessliche Ableitbarkeit der genannten Beziehungen aus dem „allgemeinen“ Integrale ist eine notwendige Eigenschaft des letzteren. Denn wenn sich noch andere Relationen aus ihm ableiten lassen, so ist es ein partikuläres oder singuläres Integral (Imschenetshj in Gruncrfs Archiv, Bd. 54, § 1, Art. 4). Zusatz (4). Die Frage, ob und wann eine partielle Differentialgleichung überhaupt ein „allgemeines Integral“ in dem Sinne habe, dass es alle (nicht singulären) Integrale in sich be greift, wie dies bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen zwei Veränderlichen der Fall ist, wird von Du Bois-Eeymond als noch unbeantwortet hingestellt (Beiträge 1864, Vorrede). 5. Über die Anzahl der willkürlichen Konstanten im vollständigen Integrale eines Diffcrentialsystems hat man den folgenden Satz von Lie: Ist ein Differentialsystem F r ^x x , • • ■ x n , z x z. d z x m ' Vx x d p z m hxi H so beschaffen, dass durch Auflösung desselben alle Differentialquotienten pM* Ordnung dargestellt werden können durch Differentialquotienten niedrigerer Ordnung und durch die z und die x, während dies nicht für alle Differentialquotienten [p—l)ter Ordnung möglich ist: dass ferner durch einmalige Differentiation des Differentialsystems nach den x nur solche Beziehungen zwischen den x und den Ableitungen der z von der Nullten bis zur (p—l)ten sich bilden lassen, welche aus dem Systeme selbst folgen, so enthält das vollständige Lösungssystem Zi = (Pi {x x , . . . x„), (i= 1, . . . m) nur eine endliche Anzahl willkürlicher Konstanten, Der Satz gilt auch umgekehrt (Lie-E. Tr. I, S. 179). Zusatz (1). Bezeichnet e, die Anzahl der Differentialquotienten ¿ter Ordnung der z nach den x, und q die Anzahl der unabhängigen Beziehungen zwischen den x und den Differentialquotienten der z von der Nullten bis zur (p—l)ten Ordnung, so ist diese endliche Anzahl der Konstanten gleich: N= Üo ~\~ ' • * 4“ s p - i) — 7- Zusatz (2). Enthält das Differentialsystem nur eine einzige Unbekannte z, so dass rii — 1 ist, so hat man:

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fullscreen: Differential- und Integralrechnung (3. Band)

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