Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen

Abel, Niels Henrik; Galois, Evariste; Maser, Hermann

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 87144206X

Author:: Abel, Niels Henrik; Galois, Evariste; Maser, Hermann

Title:: Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen

Scope:: 1 Online-Ressource (VI, 155 Seiten)

Year of publication:: 1889

Place of publication:: Berlin

Publisher of the original:: Springer

Identifier (digital):: 87144206X

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Abhandlungen von Niels Henrik Abel.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: Abhandlung über eine besondere Klasse algebraisch auflösbarer Gleichungen. (Crelle's Journal f. d. r. u. a. Mathematik, Bd. 4, 1829. Oeuvres complètes, 1881, Bd. I S. 478).

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Abhandlung über eine besondere Klasse algebraisch auflösbarer Gleichungen. (Crelle’s Journal f. d. r. u. a. Mathematik, Bd. 4, 1829. Oeuvres complètes, 1881, Bd. I S. 478). Obwohl die algebraische Auflösung der Gleichungen im Allgemeinen nicht möglich ist, giebt es doch besondere Gleichungen aller Grade, welche eine solche Auflösung zulassen. Dieser Art sind zum Beispiel die Gleichungen von der Form x n — 1 = 0. Die Auflösung dieser Gleichungen gründet sich auf gewisse Beziehungen, welche zwischen den Wurzeln stattfinden. Ich habe versucht, diese Methode zu verallgemeinern, indem ich annahm, dass zwei Wurzeln einer gegebenen Gleichung derart mit einander verbunden seien, dass man sie rational durch einander aus- drücken könne, und ich bin zu dem Resultat gekommen, dass eine solche Gleichung stets mit Hülfe einer gewissen Anzahl von Gleichungen niedrigeren Grades gelöst werden kann. Es giebt sogar Fälle, in denen man die gegebene Gleichung selbst algebraisch auflösen kann. Dies istz.B. allemal der Fall, wenn die gegebene Gleichung irreductibel und ihr Grad eine Primzahl ist. Dasselbe gilt auch, wenn sämtliche Wurzeln einer Gleichung aus gedrückt werden können durch x, Ihr, fi 2 #, №x, ..., fi" -1 #, wo tl n ;r = x, falls ihr eine rationale Function von x ist und fi 2 #, fi 3 #, ... Functionen von derselben Form wie ihr sind bei zweimaliger, dreimaliger, ... Wiederholung dieser Operation. cJi 1 Die Gleichung ——-- = 0, wo n eine Primzahl ist, befindet sich in diesem Falle; denn bezeichnet man mit a eine primitive Wurzel für den Modul n, so kann man, wie bekannt, die n — 1 Wurzeln ausdrücken durch a a 2 a 3 2 tx n 1 X, X , X , X , .. ., X , WO X = X, d. h., wenn man x a = fix setzt, durch £T, ihr, O 2 *, fi 3 #, ..., r~ 2 x, wo x = x.

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