Vorlesungen über darstellende Geometrie: Die Zyklographie

Krames, Josef Leopold; Müller, Emil

Bibliographic data

Multivolume work

Persistent identifier:: 873150538

Author:: Müller, Emil

Title:: Vorlesungen über darstellende Geometrie

Year of publication:: 1931

Place of publication:: Leipzig; Wien

Publisher of the original:: Franz Deuticke

Identifier (digital):: 873150538

Language:: German

Additional Notes:: Bände 1-3 erschienen von 1923-1931

Document type:: Multivolume work

Volume

Persistent identifier:: 87315228X

Author:: Müller, Emil

Title:: Die Zyklographie

Sub title:: mit 208 Textfiguren

Scope:: IX, 476 Seiten)

DOI:: 10.14463/GBV:87315228X

Year of publication:: 1929

Place of publication:: Leipzig; Wien

Publisher of the original:: Franz Deuticke

Identifier (digital):: 87315228X

Illustration:: Diagramme

Signature of the source:: DG 4077(2)

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Editor:: Krames, Josef Leopold

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2016

Document type:: Volume

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: II. Kapitel. Zyklographische Abbildung von C-Kreisen und C-Kugeln.

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: 12. Kreisbüschel und Kreisbündel. Übungsaufgaben.

Document type:: Multivolume work

Structure type:: Chapter

12. Kreisbüschel und Kreisbündel. Übungsaufgaben. 61 Strahlbüschel projiziert, die auf E projektive Punktreihen ausschneiden. Da zwei bezüglich E symmetrischen Punkten dasselbe Punktepaar auf E, nur in andrer Folge, entspricht, so liegen die Punktreihen involu- torisch. Läßt man x einmal ins Unendliche, einmal nach a rücken, so folgen die weiteren Aussagen über den Zentralpunkt und die Potenz. — Die Involution x x x 2 wird aus ft und q durch rechte Winkel pro jiziert ; die Kreise mit den Gegenpunkten x x x 2 gehen also durch ft und q. Als Umkehrung von Satz 1 gilt mithin der Satz 1 a: Jede gleichseitige Hyftcrbel H = (m, a) mit der Mitte m und der reellen Halbachsenlänge a, deren imaginäre Achse II angehört und deren Ebene zu II senkrecht steht, hat als zyklografthisches Bild ein Kreis büschel, dessen reelle Grundftunkte ft, q zur Hyfterbelehene symmetrisch liegen, m zur Mitte haben und die Entfernung 2 a besitzen. Da H die Bildebene in imaginären Punkten schneidet, hat das ent sprechende Kreisbüschel keine reellen Nullkreise, es ist also eilifttisch (vgl. Bd. I, Nr. 13). 1 ) Fragen wir nun nach dem zyklographischen Bild einer gleichseitigen Hyperbel H — (m, a), deren reelle Achse ab = 2 a in /7 liegt und deren Ebene s mit der Bildspur E — [ab] zu II senkrecht steht. Durch Um klappen von s in II gelange H nach H° (Fig. 47). Schneiden die durch einen Punkt x° von H° gelegten Parallelen zu den Asymptoten auf E das Punktepaar x x x 2 aus, so ist der über x x x 2 gezeichnete Kreis der Bildkreis x z von x und seinem bezüglich II symmetrischen Punkt. Da wieder die Punktepaare x x x 2 eine Involution bilden, deren Doppelpunkte jetzt die reellen Punkte a, b sind, für die also [a b x x x 2 ) =.—1 ist, so schneidet x" den Kreis K — (m, a) rechtwinklig. Die Potenz von x z in m ist a 2 . %f schneidet daher die imaginäre Achse von H° in konjugiert imaginären Punkten, die von m die Entfernung + i a haben. Durch sie gehen also alle Kreise xö. Um gekehrt hat jeder Kreis durch sie zyklo- graphische Bildpunkte, die H angehören. Daher gelten der Satz 2: Jede gleichseitige Hyfterbel H — (m, a) mit der Mitte m und der reellen Halbachsenlänge a, deren reelle Fig. 47. h Gegenüber der Benennung der drei Arten von linearen Zykelreihen erscheint die übliche Benennung der drei Arten von Kreisbüscheln folgewidrig. Man müßte eigentlich Büschel mit reellen Grundpunkten als hyperbolisch bezeichnen. Wir bleiben jedoch bei der üblichen Benennung der Kreisbüschel.

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