Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen: Geometrie

Meyer, Wilhelm Franz; Mohrmann, H.

Bibliographic data

Multivolume work

Persistent identifier:: 875211143

Author:: Kauffmann, Ernst Friedrich; Schwenk, C.

Title:: Aufgaben aus der darstellenden Geometrie

Sub title:: mit sechzig lithographirten Tafeln

Year of publication:: 1844

Place of publication:: Stuttgart

Publisher of the original:: Verlag von Ebner und Seubert

Identifier (digital):: 875211143

Illustration:: Diagramme

Language:: German

Document type:: Multivolume work

Volume

Persistent identifier:: 875211542

Author:: Kauffmann, Ernst Friedrich; Schwenk, C.

Title:: Aufgaben aus der darstellenden Geometrie

Scope:: VIII, 174 Seiten

Info on language/writing:: In Fraktur

Year of publication:: 1844

Place of publication:: Stuttgart

Publisher of the original:: Verlag von Ebner und Seubert

Identifier (digital):: 875211542

Signature of the source:: DG 2152

Language:: German

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2016

Document type:: Volume

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Erster Abschnitt.

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Chapter

Title:: Aufgaben über Punkte, gerade Linien und Ebenen im Raum.

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Section

Title:: Aufgabe 26. Ein Punkt und eine gerade Linie sind durch ihre Projectionen gegeben; [...]

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Structure type:: Section

80. Gauß, Schweikart, Taurinus, Lobatschefskij, Joli. Bolyai. 1141 30. Gauß, Schweikart, Taurinus, Lobatschefskij, Joh. Bolyai. a) Unter den Entdeckern und Begründern der nichteuklidischen Geometrie ist vor allem C. F. Gauß 1058 ) zu nennen, der nach langen Kämpfen und Zweifeln schließlich (etwa von 181.6 an) zu der Überzeugung kam, daß die „nichteuklidische Geometrie“ (die Hypothese des spitzen Winkels hei Saccheri und Lambert) in sich ebenso widerspruchlos sei wie die eukli dische Geometrie. Leider hat Gauß von seinen Entdeckungen nur wenig niedergeschrieben 1089 ) und aus Scheu „vor dem Geschrei der Böoter“ 1089a ) nichts veröffentlicht. Gauß definiert die Parallele durch A zu einer Geraden a derartig, daß diese Parallele (wie bei Saccheri) als Grenz gerade der Nichtschneidenden erscheint. Aus seiner Definition folgt, daß zwei Geraden nur in einem bestimmten Sinne, in einer be stimmten Richtung oder nach dem einen „Ende“ hin (Hilbert 1059 1060 1061 )) parallel sein können, daß also durch A, den beiden Enden von a entsprechend, zwei Parallelen möglich sind. Er beweist die Unab hängigkeit der Parallelität von dem Ausgangspunkt A, die Gegensei tigkeit des Parallelismus (aus a \\b folgt b || a) und die Transitivität (aus a || b und b || c folgt a j] c) für Parallelen mit demselben Sinne. Er entdeckte ferner, daß der Kreis mit unendlich großem Halbmesser keine Gerade ist. Aus brieflichen Äußerungen geht hervor, daß Gauß die absolute Längeneinheit und die Abhängigkeit der nichteuklidi schen Geometrie von einer Konstante h gefunden hatte, deren Unendlichgroßwerden bewirke, daß die nichteuklidische Geometrie in die euklidische Geometrie übergehe. Insbesondere gab er für den Umfang des Kreises die Formel zth \ an. 1061 ) Ob Gauß, bevor er die Untersuchungen Biemanns keimen lernte, auch die Hypothese des stumpfen Winkels als möglich erkannt hat, ist fraglich; au einigen Stellen lehnt er diese Hypothese durchaus ab. 1061a ) Jedenfalls wußte er, daß, auch wenn das euklidische Parallelenaxiom 1059) Gauß, Werke 8, p. 157. 1059a) Brief von Gauß an Hessel vom 27. Jan. 1829. Gauß teilt hier mit, daß er bereits sehr ausgedehnte Untersuchungen über den Gegenstand angestellt habe. 1060) Hilbert, Math. Ann. 57 (1903), p. 137; abgedruckfc in den „Grundlagen der Geometrie“, 2. Aufl., Anhang III. 1061) Gauß, Brief an Schumacher vom 12. 7. 1831, Briefwechsel Gauß-Schu macher 2, p. 268; Engel und Stachel, Theorie der .Parallellinien, p. 233—234. — Dieselbe Formel batte schon vorher (s. unten p. 1142) Taurinus aufgestellt 1061a) So z. B. sagt Gauß 1816 in einer Rezension: „weil in der Tat die Unmöglichkeit dieses Falles (des stumpfen Winkels) in aller Strenge bewiesen werden kann“. Vgl. „Engel-StäckeV 1 , p. 223. S. auch p. 249 daselbst.

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fullscreen: Geometrie (3. Band, 1. Teil, 2. Hälfte)

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