Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung

Kowalewski, Gerhard; Cesàro, Ernesto

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 89196164X

Author:: Cesàro, Ernesto

Title:: Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung

Sub title:: mit zahlreichen Übungsbeispielen : mit 97 in dem Text gedruckten Figuren

Scope:: 1 Online-Ressource (894 Seiten)

Year of publication:: 1904

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Teubner

Identifier (digital):: 89196164X

Illustration:: Diagramme

Language:: German

Other Title:: Originaltitel: Corso di analisi algebrica

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Editor:: Kowalewski, Gerhard

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Zweites Buch. Irrationale Zahlen. Grenzwerte. Unendliche Reihen und Produkte.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: Theorie der Reihen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

118 II, 3. Theorie der Reihen. §§ 178—179 Zahl, d. h. ein einziger Grenzwert, nicht existiert, so ist es un möglich, zu jeder positiven Zahl £ eine Zahl v zu finden derart, daß für n, n" > v immer | a n , — a n „ | < s ist; denn auf Grund der zweiten Eigenschaft gibt es, wenn e < — A 0 ist, beliebig große Werte von n und n" derart, daß i a n , — a n „ | > s ist: es genügt a n' < J (^o + Po ~ E ) 1 a n” > 2 (¿o + + £ ) zu wählen. Theorie der Reihen. Erste Definitionen und Beispiele. 179. Eine der wichtigsten Anwendungen der Theorie der Grenzwerte besteht darin, zu untersuchen, welche Bedeutung einem Aggregat von unendlich vielen Zahlen u x -}- u 2 + u z + • • • heigelegt werden muß, und ob auf ein solches Aggregat, welches man als eine Reihe bezeichnet, immer die Eigenschaften der aus einer end lichen Anzahl von Teilen zusammengesetzten Summen anwendbar sind. Wir wollen mit S n die Summe der n ersten Glieder bezeichnen. Wenn n unendlich zunimmt, so kann S n nach einem Grenzwerte konvergieren oder nicht. Im ersten Falle ist die Reihe konvergent oder diver gent, je nachdem der Grenzwert endlich oder unendlich ist. Im zweiten Falle heißt sie unbestimmt. Man bemerke, daß eine un bestimmte Reihe sich immer durch eine geeignete Gruppierung der Glieder derart reduzieren läßt, daß sie konvergent oder divergent wird. Wir wissen in der Tat (§ 137), daß man eine Folge von ganzen Zahlen r, s, t, ... bilden kann, die beständig zunehmen und so beschaffen sind, daß S n sich einem endlichen oder unendlichen Grenzwert nähert, wenn n die Folge durchläuft. Mit andern Worten: Die Reihe { u l + % + •••+ M r ) + ( u r +1 + ■ * • H~ u s) + ( U s + 1 • • • + *0 -f- • • ■ , in welcher alle in einer Klammer stehenden Glieder immer als ein einziges Glied bildend betrachtet werden, ist konvergent oder divergent. Dieser Umstand zeigt, daß für die Addition von unendlich vielen Zahlen nicht das sogenannte assoziative Gesetz gilt, und später werden wir sehen, daß auch nicht immer das kommutative Gesetz besteht. Umgekehrt ist es wichtig zu bemerken, daß es nicht er laubt ist, die Glieder einer konvergenten oder divergenten Reihe in

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