Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung

Kowalewski, Gerhard; Cesàro, Ernesto

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 89196164X

Author:: Cesàro, Ernesto

Title:: Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung

Sub title:: mit zahlreichen Übungsbeispielen : mit 97 in dem Text gedruckten Figuren

Scope:: 1 Online-Ressource (894 Seiten)

Year of publication:: 1904

Place of publication:: Leipzig

Publisher of the original:: Teubner

Identifier (digital):: 89196164X

Illustration:: Diagramme

Language:: German

Other Title:: Originaltitel: Corso di analisi algebrica

Usage licence:: Public Domain Mark 1.0

Editor:: Kowalewski, Gerhard

Publisher of the digital copy:: Technische Informationsbibliothek Hannover

Place of publication of the digital copy:: Hannover

Year of publication of the original:: 2017

Document type:: Monograph

Collection:: Mathematics

Chapter

Title:: Fünftes Buch. Algebraische Gleichungen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Chapter

Title:: Auflösung der Gleichungen.

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

§§ 513—514 Y, 2. Auflösung der Gleichungen. Numerische Auflösung. 445 ist. Hier muß die Bedingung A > 0 genügen, da es unmöglich ist, daß die Gleichung vier imaginäre Wurzeln hat. Also muß die Bedingung a \ — « 0 a 2 > 0 in A 0 enthalten sein (vgl. § 508, b), und man be stätigt, daß dies tatsächlich der Fall ist, wenn man die Identität beachtet (IqA = 4 (a x 1 2 — a 0 a 2 f — (2 a* — 3 a 0 a 1 o 2 + a 0 2 a 3 ) 2 . b) Dagegen reicht bei der Gleichung vierten Grades a 0 £C 4 -f- 4 a x x % + 6 a 2 ic 2 + 4 a 3 x -j- a 4 = 0 die Bedingung A > 0 nicht aus um zu entscheiden, ob die Wurzeln alle reell oder alle imaginär sind. Aus dem Vorzeichen von A kann man mit Sicherheit nur schließen, daß, wenn A <C 0 ist, die Gleichung zwei reelle und zwei imaginäre Wurzeln hat. Wenn A > 0 ist, so muß man auf die andern Sturmschen Funktionen zurückgehen, deren erste Koeffizienten sich nur um positive Faktoren von «i 2 — a 0 a 2 , (V — a 0 a 2 )I + -|a 0 J unterscheiden 1 ), wo (§ 87) I = a 0 a 4 — -f- 3a 2 2 , J = a 0 Cl-^ ct<2 $1 €¿2 CIq CI/2 CIq ist. Damit nun, wenn schon A > 0 ist, die Wurzeln alle reell und ver schieden seien, ist notwendig und hinreichend, daß diese beiden Größen positiv sind. Wenn dies nicht der Fall ist, so sind die vier Wurzeln imaginär. c) Auch bei der Gleichung fünften Grades kann man behaupten, daß, wenn die Diskriminante negativ ist, die Gleichung sicher zwei imaginäre und drei reelle Wurzeln hat. Ist die Diskriminante positiv, so hat die Gleichung, wenn ihre Wurzeln nicht alle reell sind, nur eine reelle Wurzel, und zwischen diesen beiden Möglichkeiten entscheidet man durch Unter suchung der Vorzeichen von drei gewissen Funktionen der Koeffizienten 2 ). Auflösung der Gleichungen. Numerische Auflösung. 514. Wir gehen jetzt über zur numerischen Auflösung der algebraischen Gleichungen, d. h. zur Aufsuchung derjenigen Zahlen, die an Stelle der Veränderlichen gesetzt ein Polynom mit gegebenen numerischen Koeffizienten zum Verschwinden bringen. Wir können uns darauf beschränken Gleichungen von der Form 1) Cayley „Quarterly Journal“, t. IV, p. 10. Siehe auch eine Note von Halphen in den „Nouvelles Annales de Math.“, 1885, pp. 34, 35. 2) Roberts „Quarterly Journal“, t. IV, p. 175.

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