Auf beiden Seiten den Grenzwert für n 
1 1 
rücksichtigt, dass 
1 
(a - 1)! r(a) 
lim a (a -j- 1) , . . . (a -f- n) 
oo genommen und be- 
nach Definition, dann resultiert; 
T(a) n = ° 
w v lim 
r(a) 
n! n 
1.2.3 n . n a 
oder 
3 ) 
(6) 
n = 00 a (a -f 1) (a + 2). ., (a -f n) 
was die gesuchte Definitionsformel für die Gamma 
funktion ist. 
Hieran knüpfen wir nun noch einige Bemerkungen. 
I) Aus (6) folgt: 
™ \ Hm 
a r ( a ) = n = 
n ! 
00 (a -j- 1) . . . (a -J- n) \a -j- 1 -f- n 
a —j— n —j— 1 
. n 
was richtig ist, da 
a —(-- n 1 
lim /a —(— n —j— 1 
n = oo l n 
a —j— 1 —f- n 
== 1, so folgt, dass 
1. Da aber auch 
aT(a): 
aT(a): 
lim 
1 . 2 . 3 . . . . n 
oo (a -J- 1) . .. (a + n) (a -f n -)- 1) 
a I 11 + 1\ a+l 
. n 
lim 
n! n 
a+l 
= F(a + 1) nach Defi- 
n = oo (a —j— 1) . . . (a —f— n —j— 1) 
nition (6). 
Damit ist eine wichtige Haupteigenschaft der 
Gammafunktion nachgewiesen, die wir besonders hervorheben 
wollen: I\a) . a = F(a -f- 1) (7) 
Durch Wiederholung folgt: 
T(a) . a (a -f 1) = T(a + 2) 
T(a) . a (a -f- 1) (a -f- 2) = T(a -f- 3 ), allgemein 
T(a) . a (a + 1) . . . (a + m — 1) = 
a (a -f 1) . . . (a -f- m — 1) = 
a -f- m), somit 
T(a -[- m) 
m 
, was mit (2) 
übereinstimmt d. h. wir haben eine Funktion F konstruiert, bei welcher 
es gleichgültig ist, ob a positiv ganz sei oder nicht. Im Weitern zeigt 
II) die Definitionsformel (6), dass die Funktion F{a) für endliche 
Werte von a im allgemeinen stetig und differentiabel ist.