6
§ 2. Verwandlung der Funktion r(a) in ein bestimmtes
Integral.
Es sei n eine ganze positive Zahl, die zum ünendlichwerden be
stimmt ist, a eine endliche Variable. Nun sei
1 . 2 . 8 . . . . n Ao . Ai , , A;. , , An
a (a + 1) (a + n)'
a —}— 1
a —|— Z
h
l—n
X? A;.
— a -4-Z
A=0
a -f- n
(9)
eine identische Gleichung, worin Ao Ai Aa . . . Aa . . . An zu be
stimmende Konstante bedeuten. Macht man die Gleichung ganz, so
wird sie in Bezug auf a vom n ten Grade und zahlt daher (n -f- 1) Terme,
wo jeder einzelne Koefficient verschwinden muss. Für die (n -f- 1)
Konstanten hat man demnach (n -f- 1) Bedingungsgleichungen, welche
gerade hinreichen, dieselben eindeutig zu bestimmen.
Man greife nun eine der (n -f- 1) Zahlen 0. 1, 2, .... n z. B.
Z heraus und multipliziere die Gleichung (9) mit (a -f- Z), dann folgt:
1 . 2 . 3 . . . n ( (
a (a -f- 1)... (a -j- Z — 1) (a-f-Z-f-1).. (a —{— n) * ' ( ) (a ' ^
Nun setze man a == — Z. Links erhalten wir im Nenner zuerst
aus a (a —f— 1)... (a -j~ Z— 1) die Reihe — Z (— Z -J- 1).. . . — 2. — 1
und aus (a -|-Z -f-1) ... (a-|- n) » » 1.2.3
rechts bleibt allein A^ somit
—<- ■>*(:
1
Ax = (- 1)
Z! (n — Z)!
1.2.3..
a (a-fl)
Wenn man nun
. (a -f n)
1
a
1) A Z!
. (n — Z) = (n — Z) !,
somit wird (9) zu
(10)
A=0
also auch
a+Z
+ Z
in ein bestimmtes In-
legral verwandeln will, so kann man das auf zwei verschiedene
Weisen thun:
I. Wenn recp,*) a positiv, II, wenn recp. a negativ.
I. Fall. Wenn recp. a positiv, so verschwindet x“ zugleich mit
x, und es ist
*) reelle Komponente