— 7 —
1
dx= —, analog
a
i 1 - H
I x d?
'0
X i a+A-l ,
—r-l= x- dx,
a -\- / J
dies in (10) substituiert
i=n
1 . 2 . 8 . . . . n
a (a —1) .... (a -| - n)
1)
/ / n \ a ~f 1 "1
dx
J 2<-
o >-=0
- fV^a)
0 A=0
^ (— 1)Y;)x A = (1 — x) n , somit
x dx. Da aber
1 . 2 . 8 . . . . n
a (a -}- 1) • • • ( a + n)
o
/il
a-1
= I X (1 — x) dx
(11)
Das Integral (11) werde Euler’sch es integral I. Ar l 4 ),
l te F o r m bezeichnet.
Nun ist nach (6) F(a) = —7—;—77 77—i—— ,JMTlTnach(ll)
11 == 00 a (a -(- 1) . . . (a -{- n)
pn a x"' 1 (1 — x) n dx
n =00 ,
0
; ]im f(n x) a_1 (1 — x) n ndx
n = 00 , '
% 1 V
,
Wir setzen statt nx die Variable x, ein, dann werden die Grenzen
0 und n. und es folgt
n a)
lim
n — 00
J ■“(
1 - - I dx,
n
lim /
n = 00 y n
somit folgt, wenn der Index weggelassen und der Grenzwert ge
nommen wird
/>00
r ( a)=J
e’ K s“ 1 dx (12) 5 )
E u 1 e r ’ s c li e s I n l e k r a I II. Art, l te Form.