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noch den Horizont in rückläufigem Sinn beifügen, dadurch erhält man
einen geschlossenen Inlegrationsweg, wie beistehende Figur zeigt, den
man auf einen rückläufigen Kreis um 1 zusammenziehen kann. Wir
haben demnach
2 i sin a tc . S
a-1
1 — z
tc
T(a) T(1 - a)
sin a tc
tc
dz =
oder
a-1
Z — 1
dz = 2 i tc
nach Oauchys Theorem.
sm a tc
Multiplizieren wir nun diese Gleichung mit a .
und erwägt man, dass a r(a) = F(a -j- 1)
n 1 - a)
— a
= F{— a), — sin tc a — sin tc (a -f- 1),
so erhält man /Ta-h 1} Ff— a) = — .
sin(a-f-l)7t
Wenn der vorhin ausgesprochene Satz für 0 < a < 1 gilt, so gilt
er nach der letzten Formel auch für 1 < a < 2, und so kann man
fortfahren: somit hat der Satz unbeschränkte Gültigkeit.
Aus demselben ergibt sich auch eine Darstellung der Funktion
sin tc a durch eine unendliche Produktreihe. Wir gehen von der De
finitionsformel (6) aus
1 __ lim a (a -f- 1) • • • • (a -[- n) n -a
F(a) n = oo 1.2.3 . . , . n
1 __ lim (1 — a) (2 —a) ... C— a-f-n) (1—a -j-n) n -i+a
r(l—a) n = co 1.2.8 n
Nun ist (1 — a -f- n) n' 1+a zu ersetzen durch n a ,
somit folgt
1 _ lim (1 — a) (2 — a) (n — a) R a
jT(1 —■ a) n = oo 1 . 2.3 . . . . n