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V2 
N/2 
r 
\/2.^ 3/4 Q 
v« 
(29) 
Die Berechnung von j hängt auf sehr interessante Weise 
mit der Rektifikation der Lemniskate zusammen. 
Die festen Punkte dieser Kurve seien — 1 und -f- 1, dann lautet 
ihre Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten 
(y 2 -f x 2 ) 2 — 2 (x 2 — y 2 ) = 0. 
■ 
\ -l / 
V c 
\ X +W - 
\ 7 
-X 
Wählen wir den Ursprung als Pol, und führt man y = r sin p, 
x = r cos p ein, so folgt als Gleichung der Kurve in diesen Polar 
koordinaten 
r = \/2 cos 2 p. 
Nun sei das Bogenelement der Kurve mit du bezeichnet, dann 
ist bekanntlich 
(du) 2 = (dr) 2 (r dp) 2 
2 sin 2 p 
dr = — 
\J2 cos 2 p 
d p 
(du) 5 
du = 
4 sin 2 p_ -j- 2 cos 2 p . (dp)‘ c 
2 cos 2 <p K Y ' r \ r 
\ß 
\/cos 2 p 
-dp. Nun sei cos 2 p 
sin 2 <p dp = — S d S 
SdS 
d cp - 
1 — S 2 , wo S — sin. am. 
SdS 
sin 2 cp \/l — cos 2 2 cp 
SdS 
\/l — (1 — S 2 )