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Sinn hat. Ist a eine positive ganze Zahl, so verwandelt sich der Weg
aus einer Schlinge in eine geschlossene Kurve, die man in einen
kleinen Kreis um 0 zusammenziehen kann, und die rechte Seite der
Formel stellt nach Cauchy den Koefficient von x a_1 in der Entwicklung
x 1
von e nach steigenden Potenzen von x dar, hat also —— zum
(a 1)!
Wert, wodurch links und rechts Identität vorhanden ist. Ist a — — n -j-1
eine nulle oder negative ganze Zahl, so ist der Weg auch eine ge
schlossene Kurve und kann auf den Nullpunkt zusammengezogen werden.
Das Integral ^e x x' a dx verschwindet, und somit ist F (—n -j- 1) un
endlich gross.
Wir setzen in (39) a = x j% und erhalten 20 )
und es muss zwischen dieser Formel und der Formel (34) ein Zu
sammenhang existieren. Nach (34) hat man
—OO —OO 0
Nun sei x 2 = — y, x
i y /2 , dx =
y" 1/2 dy, also
—OO
—OO
y' l/2 dy, wo y die Phase — tz hat.
Im zweiten Integral übersteigt die Phase von y diejenige von y im
vorigen Integra] um 2 tt, somit hat im 2. Integral y die Phase n.
Es ist
0 0
Wir können uns denken, y umlaufe das Ende des 1. Integrations
weges, dann heften wir die beiden Integrationswege zu einer recht-
läufig, von — oo (— N) um 0 geworfene Schlinge und schreiben