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Anhang.
tion und nur diese. Insbesondere können wir die g ersten Substitutionen
V 0 = 1, V lf V 2 , . . ., V i so gewählt denken, dass sie die g Zweige:
(6) J'W = JXK&), ...,
gerade vollzählig ergeben.
Liefert nun irgend eine Substitution V k von F gleichfalls den Zweig
+ den wir bereits durch V i erhielten, so gilt;
und also wird:
eine Substitution von F sein, welche J'(£) invariant lässt. Ist umge
kehrt V irgend eine Substitution von F, die J'(£) in sich transformiert,
so wird:
r k -vr t
zu demselben Zweige führen wie V r Hieraus folgt mittelst be
kannter Schluss weise: Die gesummten Substitutionen V von F, welche
J'{t) unverändert lassen, bilden in F eine Untergruppe F des endlichen
Index g, für welche die Substitutionen V 0 = 1, V t , V 2f . . ., V t ein
„Repräsentantensystem“ darstellen.
Nun umfasste die transformierte Gruppe F' = T~ x FT die gesummten
Substitutionen des Netzes N in sich, welche die zugehörige „Haupt
function“ J'(t) reproducieren. Also ist F auch in F' als Untergruppe
Ff enthalten. Hierbei ist, da die vorstehende Betrachtung genau so an
die Gruppe F' und die Function J' (an Stelle von J) angeknüpft
werden kann, der Index g gleich dem Grade, den unsere Relation (4)
in J erreicht.
Zwei Gruppen, welche eine Untergruppe gemeinsam haben, die in
jeder der beiden Gruppen von endlichem Index ist, heissen „commensu-
rabel“. Unsere beiden Gruppen F und F' = T~ x FT müssen demnach
nothwendig commensurabel sein. Hiermit aber haben wir zugleich die
hinreichende Bedingung für die Existenz einer Transformation T ge
wünschter Art gewonnen, da umgekehrt aus der Commensurabilität der
Gruppen F und F' die Existenz einer algebraischen Relation (4) un
mittelbar folgt: Wird die Gruppe F der Hauptfunction J(Jf) durch Trans
formation mittelst T in eine mit F „commensurabele“ Gruppe F' = T~ 1 FT
übergeführt, so existiert zwischen der ursprünglichen Function J(£) und der
transformierten J'(f ) = J(T{£)) eine algebraische Relation (4), welche als
die zugehörige „Transformationsgleichung u bezeichnet werden soll.
Mit T werden auch alle unendlich vielen Substitutionen T k = T V k
eine solche Transformation leisten. Aber wie wir schon sahen, gelangen
wir auf diese Weise nur zu den g verschiedenen Functionen:
