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Viertes Kapitel: Die Ellipse. 
Dieser Gleichung genügen alle Punkte, für die 
r + r = 2a 
ist, d. h. alle Punkte der Ellipse. Daß aber auch nur 
diese Punkte die Gleichung (3) befriedigen, erkennt man so: 
Verbindet man einen beliebigen Punkt Q der Ebene mit 
dem Anfangspunkte 0, so muß der Strahl 0 Q die Ellipse, 
da diese eine geschlossene Kurve ist, in einem Punkte P 
schneiden. Die Koordinaten von Q seien x 0 , y 0 , die von P 
mögen x, y beißen. Dann ist ^ + p- = 1. Liegt nun Q 
näher bei 0 als P, so hat man x 0 < x, y 0 < y und folglich 
Qß 2 qj 2 * 
< 1. Liegt dagegen Q auf der Verlängerung von P, 
ßß 2 qj 2 
so ist x 0 > x, y 0 >y und folglich > 1' 
Die Gleichung (3) wird also allemal, aber auch nur 
dann, erfüllt, wenn (x, y) einen Punkt der Ellipse bedeutet. 
Sie heißt daher die Gleichung der Ellipse. 
§ 40. Diskussion der Gleichung der Ellipse. 
Sei (x, y) ein Punkt der Ellipse, also 
(i) 
Da diese Gleichung nur die Quadrate von x und y enthält, so 
wird sie auch von den Koordinaten des Punktes (— x, — y) 
befriedigt. Die Verbindungslinie von (x, y) und (— x, — y) 
geht durch den Anfangspunkt und wird in ihm halbiert. 
Um umgekehrt die Schnittpunkte einer beliebigen, durch 
0 gehenden Geraden y = yx mit der Ellipse zu bestimmen, 
hat man nur in (1) yx an die Stelle von y zu setzen und 
nach x aufzulösen. Man erhält dann für die Abscissen der 
Schnittpunkte die beiden entgegengesetzt gleichen Werte 
x = + und folglich für die zugehörigen Ordinaten 
1/7) 2 -L nß ii.* 
yah 
Jede durch 0 gehende Gerade 
die Werte y == + 
■j/i» 2 —j— a 
trifft also die Ellipse in zwei zu 0 symmetrisch gelegenen 
Punkten.