§ 41. Polargleichung der Ellipse, bezogen auf den Mittelpunkt. 99 
§ 41. Polargleichnng der Ellipse, bezogen auf den Mittelpunkt. 
Ein beliebiger Punkt P der Ellipse 
(i) 
+ 4-i 
habe die rechtwinkligen Koordinaten x, y und die Polar 
koordinaten r, u. Dann ist: 
(2) x = r cos u, y = rsmu. 
Führt man diese Werte in (1) ein, so kommt: 
r cos^it , r sm*« 1 
^ 1 6* = i; 
cos 2 u , sin 2 u 
\ j r 2 a 2 & 2 
Dies ist die auf den Mittelpunkt bezogene Polar gl eichung 
der Ellipse. Sie läßt sich auch in der Form schreiben: 
' ' a 2 sin 2 u -j- fe 2 cos 2 u 
Berücksichtigt man sin 2 u = 1 — cos 2 u und ferner a 2 — & 2 = c 2 , 
so erhält man hieraus: 
(5) ’ a ' V 
rp* 
a z — c z cos z u 
Man bedient sich der Bezeichnung; 
(6) 
= s (e < 1) 
und nennt e die numerische Exzentrizität, während c, im 
Gegensätze hierzu, auch die lineare Exzentrizität genannt 
wird. Mit Hilfe dieser neuen Bezeichnung geht (5) über in; 
(7) 
K ' 1 — £ 2 COS 2 W 
Aus (5) erkennt man, daß r für u = 0 seinen größten Wert, 
nämlich a, erhält. Durchläuft u den ersten Quadranten, so 
nimmt r stetig ab und erreicht für m = 90° seinen kleinsten 
Wert, nämlich 1). 
Daraus ergibt sich, daß der um den Mittelpunkt 0 mit 
dem Radius a beschriebene Kreis, der die Ellipse in den 
Scheiteln Ä und Ä der großen Achse berührt, der Ellipse