§ 54. Definition und Gleichung der Hyperbel. 
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gleichung übereinstimmt. Da aber bei der Hyperbel a < c ist, 
müssen wir jetzt die Abkürzung 
(2) c 2 — a 2 = h 2 
benutzen und erbalten dann nach Division mit a 2 & 2 die 
Gleichung der Hyperbel in der Form: 
x 2 y 2 .. 
ö 5 ~ b 2 = 1 • 
Wie bei der Ellipse schließen wir aus dem Umstande, 
daß die Gleichung nur die Quadrate von x und y enthält, auf 
die Symmetrie der Hyperbel in Bezug auf die Koordinaten 
achsen. Während aber bei der Ellipse jede durch den An 
fangspunkt 0 gehende Gerade y = yx die Kurve in zwei 
reellen, zu 0 symmetrisch gelegenen Punkten traf, begegnen 
wir bei der Hyperbel einer bemerkenswerten Abweichung. 
Auch hier erhält man zwar (indem man in (3) yx an die Stelle 
von y setzt) für die Abscissen der Schnittpunkte zwei ent 
gegengesetzt gleiche Werte, nämlich x = + , aber 
y& 2 — «V 3 
diese sind nur dann reell, wenn & 2 — a 2 y 2 > 0, d. h. wenn y } 
absolut genommen, kleiner als ~ ist. Konstruiert man daher 
durch 0 die beiden zu den Achsen symmetrisch gelegenen Ge 
raden y=4-—x und y = — —x, so werden nur die Geraden die 
Hyperbel in reellen, zu 0 symmetrisch gelegenen Punkten 
treffen, die in demselben Winkelraume liegen wie die x-Achse; 
die Geraden aber, die den anderen Winkelraum durchschneiden, 
haben keine reellen Punkte mit der Hyperbel gemein. 
Man nennt jede durch 0 hindurchgehende Gerade einen 
Durchmesser der Hyperbel, unterscheidet dann aber, je nach 
dem die Schnittpunkte mit der Hyperbel reell sind oder nicht, 
zwischen reellen oder Hauptdurchmessern und imagi 
nären oder Nebendurchmessern. 
Der Punkt 0 heißt der Mittelpunkt der Hyperbel. 
Aus der nach y aufgelösten Gleichung der Hyperbel 
(4) y = ~ ]/x 2 - a 2 
erkennt man, daß y nur dann reelle Werte erhält, wenn x, 
absolut genommen, größer als a ist. Legt man daher durch