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Fünftes Kapitel: Die Hyperbel. 
paar erscheint also als Grenzfall in diesem Hyperbelsysteme, 
(Yergl. § 54, Aufg. 10.) 
Aufg. 10, Es sei r ein reeller Halbmesser einer Hyperbel 
und r der dazu senkrechte reelle Halbmesser der konjugierten 
Hyperbel. Beweise die Gleichung ~ ~ ~ (§ 41). 
Aufg. 11. Beweise, daß die gemeinsamen Asymptoten 
zweier konjugierter Hyperbeln die Diagonalen des durch die 
Scheitel Ä, A', JB, B' bestimmten Rechtecks sind. 
Aufg. 12. Beachte, daß die vier Brennpunkte zweier kon 
jugierter Hyperbeln auf einem um 0 beschriebenen Kreise, 
dem sogenannten Exzentrizitätskreise, liegen. 
Aufg. 13. Beweise mittels des Ausdrucks 
2 /COS 2 « sin 2 it\ .. £C 2 y 2 1 
9 Vö 2 ¥~) ~ 1 = J 2 ~ ¥ ~ 1? 
daß die Hyperbel alle Punkte der Ebene, für die 
* 2 _ Vl _ i 
« 2 & 2 1 
positiv ist, von denen trennt, für die dieser Ausdruck negativ 
ist. Zu welchen Gebieten gehören Mittelpunkt und Brennpunkte? 
§ 56. Die Hyperbel und die Gerade. 
Um die Schnittpunkte der Geraden 
(1) 
mit der Hyperbel 
(2) 
y = g X + n 
_ i 
a 2 & 2 
zu bestimmen, setze man den durch (1) gelieferten Wert von 
y in (2) ein. Man erhält dann die quadratische Gleichung: 
(3) x 2 {b 2 — a 2 y, 2 ) — 2yna 2 x — a 2 (h 2 -f w 2 ) = 0. 
Bezeichnet mau ihre beiden Wurzeln mit x 1 und x 2 und be 
rechnet aus (1) die zugehörigen y t und y 2 , so folgt zunächst, 
daß die Hyperbel, ebenso wie die Ellipse, von jeder 
Geraden in zwei Punkten geschnitten wird. Die Realität 
dieser Punkte hängt von dem Vorzeichen der Diskriminante 
ab, die sich in der Form a 2 h 2 (n 2 -f- h 2 — a 2 y 2 ) darstellt. Je