§ 62. Die Hyperbel und ihre Asymptoten. 153 
den Achsenabschnitten p, q die Koordinaten des Berührungs 
punktes : 
(5) *-f, y-\, 
die man natürlich auch aus (4) hätte entnehmen können. Man 
hat daher den Satz, der als spezieller Fall von I angesehen 
werden kann: 
II. Das zwischen den Asymptoten befindliche 
Stück einer Hyperbeltangente wird im Berührungs 
punkte halbiert. 
Aus (5) erhält man auch sofort die Gleichung der 
Tangente im Punkte (x t , y t ). Da nämlich die Achsen 
abschnitte 2x t und 2y t sein müssen, so lautet diese Gleichung: 
(«) k + k~ 1 » 61 > Auf e- 3 )- 
Da die Achsenabschnitte p und q einer Tangente stets das 
konstante Produkt pq = 4x x y x = c 2 ergeben, so folgt: 
III. Jede Tangente einer Hyperbel bestimmt mit 
den Asymptoten ein Dreieck von dem konstanten 
Inhalte ah. 
Der Inhalt eines solchen Dreiecks ist nämlich: 
jpq sin w = j • c* • - = ab, 
insofern w den Asymptotenwinkel bedeutet (§ 61, Aufg. 1). 
Aufg. 1. Konstruiere im Punkte (x 1} y t ) der Hyperbel 
die Tangente mittels der Relationen 2x 1 =p, 2y t = q. 
Aufg. 2. Eine Gerade bewege sich so, daß das Dreieck, 
das sie mit den Schenkeln eines festen Winkels bildet, kon 
stanten Inhalt hat. Welchen Ort beschreibt der Mittelpunkt 
der in Bewegung befindlichen Dreiecksseite? 
Aufg. 3. Von einer Hyperbel kennt man eine Asymptote 
und drei Punkte. Man soll die Hyperbel und die andere 
Asymptote konstruieren, indem man auf die durch die drei 
Punkte bestimmten Sehnen den Satz I anwende. 
Aufg. 4. Beweise mit Hilfe von § 59, Aufg. 9, daß das 
zwischen den Asymptoten befindliche Stück einer Tangente 
gleich dem zu dieser Tangente parallelen Durchmesser ist.