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II. Das Produkt der Abstände der Brennpunkte 
von einer Tangente der Hyperbel ist konstant und 
zwar gleich dem Quadrate der halben Hebenachse. 
Das negative Vorzeichen deutet an, daß die Brennpunkte 
immer auf verschiedenen Seiten der Tangente liegen, während 
sie sich bei "der Ellipse stets auf derselben Seite befinden. 
Aus (6) folgt weiter (indem man nur noch die absoluten 
Längen in Betracht zieht): 
( 8 ) j = y ■ 
Daraus folgt aber die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke PFG 
und PF'Gr' und mithin die Gleichheit der Winkel FPG und 
F'PG', d. h.: 
III. Die Tangente halbiert den Winkel der beiden 
Brennstrahlen. 
Die in P auf der Tan 
gente errichtete Senkrechte 
heißt die Normale der Hy 
perbel im Punkte P. Sie 
halbiert den Nebenwinkel der 
beiden Brennstrahlen (vergh 
§ 51). 
Wie bei der Ellipse zeigt 
jetzt eine einfache planime- 
trische Überlegung, daß die 
Gegenpunkte H und H' 7 
die man erhält, wenn man 
FG und F'G' um sich selbst verlängert, auf den Brennstrahlen 
von P oder ihren Verlängerungen liegen, woraus man leicht 
erhält: 
(9) F'H = FH' = 2a, 
d. h.: IV. Der Ort der Gegenpunkte eines jeden der 
beiden Brennpunkte in Bezug auf eine bewegliche 
Tangente ist der mit dem Radius 2a um den anderen 
Brennpunkt beschriebene Kreis. 
Ebenso findet man, wie bei der Ellipse, daß OG und 
OG' zu F'H und FH' parallel und folglich gleich a sind. 
Man hat daher den Satz