§ 4. Doppelverhältnis. Harmonische Punkte. 
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statten. Insbesondere erhält man für A = 1 die Abscisse 
des Mittelpunktes der Strecke PiP 2 , nämlich Xl 
Aufg. 1. Konstruiere die Punkte mit den Teilverhält- 
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nissen 2, 3, j 
Aufg. 2. Zeige, daß das Teil Verhältnis A eines Punktes 
P unabhängig ist von der gewählten Längeneinheit und un 
abhängig davon, wie man die positive Richtung der Geraden 
fixiert. 
Aufg. 3. Bestimme aus den Abscissen x t und x 2 von P t 
und P 2 die Abscissen der Punkte mit den Teilverhältnissen 
0, 1, — 1, oo, f, 2, — 2, — j und gib die Lage dieser 
Punkte an. 
§ 4. Doppelverhältnis. Harmonische Punkte. 
Bei vielen Gelegenheiten ist es erforderlich, gleichzeitig 
die Teilverhältnisse zweier Punkte ins Auge zu fassen. Seien 
also zwei Punkte S 1 und S 2 gegeben, die mit einer Funda 
mentalstrecke P X P 2 die Teilverhältnisse 
bilden. 
Man nennt daun den Quotienten das Doppel Verhältnis 
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der vier Punkte P 1; P 2 , S 1} S 2 . Es ist positiv, wenn S t und S 2 
entweder beide innerhalb oder beide außerhalb der Funda 
mentalstrecke P i P 2 liegen, dagegen negativ, wenn sich von 
den beiden Punkten S 1 und S 2 der eine innerhalb, der andere 
außerhalb von P ± P 2 befindet. Wir wollen für das Doppel 
verhältnis -IaIt : iAjt die Bezeichnung (I\ P 2 S 1 S 2 ) wählen, 
dabei aber genau auf die Reihenfolge achten, in der die vier 
Buchstaben auf einander folgen. In der Bezeichnung (P 1 P 2 S 1 S 2 ) 
bedeutet also der erste Buchstabe den Anfangspunkt und der 
zweite den Endpunkt der Fundamentalstrecke, der dritte Buch 
stabe den ersten Teilpunkt und der vierte den zweiten Teil 
punkt. Wählt man demnach auf der Geraden vier beliebige 
Punkte A, B, C, B, so bedeutet {ABCB) das Doppelverhältnis 
PP : PAP während beispielsweise (BCAB) das Doppelverhältnis