§ 7. Polarkoordinaten. 
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§ 7. Polarkoordinaten. 
In Bezug auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz sei ein 
Punkt P durch seine Koordinaten OM = «, ON — y gegeben; 
(In der Figur sind absichtlich zwei Punkte mit denselben Be 
zeichnungen gewählt, damit man erkenne, daß die folgenden 
Erörterungen von der speziellen 
Lage des Punktes ganz unabhängig 
sind. Der Leser möge also der Be 
trachtung den einen oder den ande 
ren der beiden Punkte zu Grunde 
legen.) In dem rechtwinkligen Drei 
ecke OMP sind die beiden Katheten 
OM = «, MP=y\ die Hypotenuse, 
also die Entfernung des Punktes P 
vom Anfangspunkte, werde mit r 
und der Winkel, den r mit der positiven «-Achse einschließt, 
mit u bezeichnet. Dabei wollen wir genauer unter u den 
Winkel verstehen, um den sich die positive «-Achse im 
positiven Sinne drehen muß, um mit dem Halbstrahle OP 
zusammenzufallen. Unter dem positiven Sinne verstehen 
wir dabei ein für allemal den der Bewegung des Uhrzeigers 
entgegengesetzten Drehungssinn, also den, in dem sich die 
positive «-Achse um den Anfangspunkt 0 drehen muß, um, 
den ersten Quadranten durchstreichend, nach der positiven 
y-Achse zu gelangen. 
Aus dem rechtwinkligen Dreiecke OMP folgt jetzt: 
(1) « = r cos u, y = r sin u, 
und diese Gleichungen gelten, in welchem der vier Quadranten 
auch P angenommen werde, wenn man nur berücksichtigt, 
daß cos u und sin u in den vier verschiedenen Quadranten die 
selben Yorzeichenkombinationen darbieten wie « und y. Die 
Entfernung r wird dabei stets als positiv angesehen. 
Aus den Gleichungen (1) ergibt sich durch Auflösen: 
(2) r =}/« 2 + y 2 , cos m=®, sintt = |, tgu = |, 
wie auch unmittelbar die Figur zeigt.