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Erstes Kapitel: Der Punkt 
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§11. Den Inhalt eines beliebigen Dreiecks P X P 2 P 3 aus den 
Koordinaten seiner Ecken zu berechnen. 
Man verbinde die drei Punkte P 17 P 2 , P 3 , deren recht 
winklige Koordinaten x lt y ly x 2 , y 2 \ x 3 , y 3 seien, mit dem An- 
io- fangspunkte 0, so erhält 
man drei Dreiecke OP 1 P 2} 
OP 2 P 3 , OP 3 P 1} deren In 
halte durch 
j&iVs - x ä y. 2 ), 
I (pa2/i - x iVz) 
bestimmt sind. Nimmt man nun jedes der Dreiecke mit dem 
ihm zukommenden Vorzeichen und bezeichnet die Inhalte der 
Dreiecke P 1 P 2 P 3 , OP t P 27 OP 2 P 37 OP 3 P x kurz mit J, J 12 , J 23 , 
J 31 , so zeigt eine aufmerksame Betrachtung der Figur, daß 
stets, wie auch das Dreieck P X P 2 P 3 liegen mag, die Glei 
chung gilt: 
(1) Jn + <^23 + ^317 
wenn nur die Vorzeichen richtig beachtet werden, und daß 
ferner J positiv oder negativ ausfällt, je nachdem P 17 P 2 , P 3 
im positiven Sinne (wie bei der ersten Figur) oder im nega 
tiven Sinne (wie bei der zweiten Figur) aufeinander folgen. 
Indem wir so für den Flächeninhalt J des Dreiecks P t P 2 P 3 
(man beachte die Reihenfolge der Buchstaben) stets die Formel 
erhalten 
(2) J = i{x x y 2 - x 2 y x + x 2 y 3 — x 3 y 2 + x 3 y x — x x y 3 ), 
erkennen wir, daß uns dieser Ausdruck für J nicht nur durch 
seinen absoluten Wert den absoluten Flächeninhalt des Drei 
ecks angibt, sondern auch gleichzeitig durch sein Vorzeichen, 
in welchem Sinne die drei Punkte P l5 P 2 , P 3 aufeinander 
folgen. Die in § 10 getroffene Festsetzung macht also unsere 
Formeln inhaltsreicher. 
Anmerkung. Bei dem Bau der für J gefundenen 
Formel tritt eine gewisse Gesetzmäßigkeit zu Tage, der wir noch