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Erstes Kapitel: Der Punkt. 
Aufg. 8. Beweise, daß für schiefwinklige Koordinaten 
der Inhalt des Dreiecks P 1 P 2 P 3 durch 
|(>1 Vz — x 2 Vi + X 2 V% - X PJ 2 + x iVx — x xVi) sin w 
ausgedrückt wird (§ 10, Aufg. 7). 
Fig. 12. 
§ 12. Folgerungen. Kriterien für die Lage eines Punktes in 
Bezug auf eine Gerade. 
In einem rechtwinkligen Koordinatensysteme sei eine 
Gerade durch die beiden Punkte P 1} P 2 gegeben. Sie zerlegt 
die ganze Ebene in zwei Teile, die wir 
auf Grund unsrer Festsetzungen in fol 
gender Weise von einander zu unter 
scheiden im stände sind. Alle Punkte 
P auf der einen Seite der Geraden sind 
dadurch ausgezeichnet, daß in den zu 
gehörigen Dreiecken die Ecken P 1} P 2 , P 
stets im positiven Sinne, alle Punkte P 
auf der anderen Seite der Geraden da 
durch, daß in den zugehörigen Dreiecken die Ecken P lf P 2 , P 
stets im negativen Sinne aufeinander folgen. Wählen wir 
daher auf der ersten Seite, die wir kurz die positive nennen 
wollen, einen beliebigen Punkt P mit den Koordinaten x, y 
und bilden (indem wir jetzt x 3 , y 3 durch x, y ersetzen) den 
Ausdruck 
(1) J *= i ( X lV2 ~ X 2Vl+ X 2y - X y 2 + Xi Jl ~ X 1 y), 
so wird dieser Ausdruck allemal positiv ausfallen; nehmen 
wir dagegen einen Punkt P mit den Koordinaten x, y auf der 
anderen Seite, die wir als die negative bezeichnen, so wird 
der entsprechende Ausdruck stets mit dem negativen Zeichen 
behaftet sein. Wir besitzen also in dem Ausdrucke 
X 1 y 2 - x 2 yi + x 2 y — x y 2 + x yi - X 1 y, 
dem wir auch die Form 
Oi — y 2 ) x ~ ( x i — x 2 )y + x i y 2 — X 2 y% 
geben können, ein wichtiges Unterscheidungsmittel für die 
beiden Seiten der Geraden P X P 2 . Für jedes Wertepaar x, y