§ 13. Inhalt eines Vielecks. 
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nimmt der charakteristische Ausdruck einen ganz bestimmten 
Wert an und zwar einen positiven für alle Punkte der einen 
Seite, einen negativen für alle Punkte der anderen Seite. Be 
deutet {x, y) einen Punkt der Geraden P X P 2 selbst, so wird 
der Ausdruck (der ja den doppelten Flächeninhalt des ent 
sprechenden Dreiecks darstellt) allemal Null, und umgekehrt, 
wenn der Ausdruck gleich Null wird, so ist dies ein sicheres 
Zeichen dafür, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden liegt. 
Es ist daher 
(2) {y x -y 2 )x- (x x -x 2 )y + x x y 2 - x 2 y x = 0 
eine Gleichung, die allemal, aber auch nur dann, 
erfüllt wird, wenn x, y die Koordinaten eines Punktes 
der Geraden bedeuten. 
Aufg. 1. Beweise, daß der zuletzt ausgesprochene Satz 
unverändert auch für schiefwinklige Koordinaten gilt. 
Aufg. 2. P x , P 2 , P mögen die rechtwinkligen Koordi 
naten 2, 5; — 3, 4; 1, 1 haben. Auf welcher Seite der Ge 
raden P X P 2 liegt der Punkt P? Liegt der Anfangspunkt 0 
auf derselben Seite? Enthält die Gerade die Punkte (1, — 1); 
(-2,5); (7,-6); ft,-2)? 
Aufg. 3. In welchen Punkten trifft dieselbe Gerade P X P 2 - Z i, 
die Achsen und ihre Winkelhalbierenden? (§ 5, Aufg. 2 und 3.) 
Aufg. 4. Welcher Gleichung genügen die Koordinaten 
eines jeden Punktes der Geraden P X P 2 , wenn P x und P 2 die 
Koordinaten 4, 2 und — 3, 7 haben? 
§ 13. Den Inhalt eines Vielecks ans den Koordinaten seiner 
Ecken zu berechnen. 
Die n Ecken P x , P 2 ,... P n mögen die rechtwinkligen Koor 
dinaten x x ,y x - x 2 ,y 2 ] . . . x n , y n besitzen. Verbindet man, wie 
in § 11, die n Eckpunkte mit dem Anfangspunkte 0, so 
erhält man n Dreiecke OP x P 2 , OP 2 P 3 , ... OP n P x . Bei ge 
nauer Berücksichtigung der Vorzeichen aller dieser Dreiecke 
ergibt sich, als einfache Ausdehnung der in § 11 gewonnenen 
Resultate, für den Inhalt J die Formel: