§16. Definition der Gleichung einer Geraden.
31
geometrische Bedeutung dieses Satzes ist dabei die folgende:
Die linke Seite der Gleichung stellt den doppelten Flächen
inhalt des Dreiecks P X P 2 P dar und wird daher allemal, aber
auch nur dann, verschwinden, wenn der Punkt P auf der
Geraden P t P 2 liegt. Sonst hat die linke Seite der Gleichung
immer einen von Null verschiedenen Wert und zwar einen
positiven für alle Punkte auf der einen, einen negativen für
alle Punkte auf der anderen Seite der Geraden P 1 P 2 .
Da hei schiefwinkligen Koordinaten in der Formel für
den Flächeninhalt des Dreiecks nur der Faktor sin w hinzu
tritt (§11, Aufg. 8), so gelten die auf die Gleichung (1) be
züglichen Bemerkungen auch für schiefwinklige Systeme.
Durch die Gleichung (1) werden also, bei schiefwinkligen wie
bei rechtwinkligen Koordinaten, alle Punkte der Geraden
P 1 P 2 scharf unterschieden von allen anderen Punkten der
Ebene. Wir nennen sie daher die Gleichung der Geraden,,
indem wir definieren:
Unter der Gleichung einer Geraden versteht man
eine Gleichung zwischen zweiYeränderlichen x und y,
die allemal, aber auch nur dann, erfüllt wird, wenn
x, y die Koordinaten eines Punktes der Geraden be
deuten.
Da jede Gerade durch zwei ihrer Punkte bestimmt
werden kann, so hat also jede Gerade eine Gleichung.
Es ist damit aber noch nicht gesagt, daß jede Gerade nur
eine Gleichung besitze. In der Tat könnten wir ja die Ge
rade ebensogut durch zwei andere auf ihr gelegene Punkte
P' und P" mit den Koordinaten x , y' und x", y" bestimmen
und erhielten als Gleichung derselben Geraden die Gleichung
{y — y ) X — {x — X ) y + x y — X y = 0,
die von (1) verschieden ist. Vorläufig werden wir daher einer
jeden Geraden unzählig viele Gleichungen zusprechen müssen..
Wir kommen aber darauf noch zurück.
Man kann die Gleichung (1) der Geraden P t P 2 auch
ganz direkt ableiten. Aus der Figur des § 9 lesen wir näm
lich unmittelbar für jeden Punkt P der Geraden P X P 2 , und
nur für einen solchen, die Proportion ab:
