§ 29. Affine Punktsysteme. 
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Den Punkten P' von f entsprechen dann in dem zweiten 
Systeme Punkte P", deren Koordinaten, mit Rücksicht auf (1) 
und (2), der Gleichung genügen 
(3) y" = ~ {fix" + n), d. h.: 
Den Punkten P' einer Geraden f' entsprechen im 
affinen Systeme die Punkte P" einer Geraden f". Die 
beiden affinen Geraden treffen sich auf der Affini 
tätsachse. Der Richtungskoeffizient von f" ist gleich 
dem von f', multipliziert mit dem Affinitätsverhält- 
nisse h : a, das von f' zu f" geführt hatte. Parallelen 
Geraden /*/, . . . des ersten Systemes, mit dem 
gemeinschaftlichen Richtungskoeffizienten fi, ent 
sprechen daher in dem zweiten Systeme wieder 
parallele Geraden, mit dem gemeinschaftlichen Rich 
tungskoeffizienten ^fi. 
Wählt man auf einer Geraden f ein beliebiges Stück 
P/P/ und auf der entsprechenden Geraden f" das entsprechende 
Stück P" P 3} so ergibt sich aus (1), wie auch durch eine 
einfache geometrische Überlegung, daß entsprechende 
Punkte P' und P" von f' und f" mit den Strecken 
P 1 'P 2 / und P 1 "P 2 ,/ gleiche Teilverhältnisse bestimmen, 
und daß auch umgekehrt Punkte mit gleichen Teil 
verhältnissen entsprechende sind. Insbesondere sind 
daher die Mittelpunkte M' und M" von P t 'P 2 ' und 
P/' P 2 " entsprechende Punkte der beiden affinen 
Systeme. 
Konstruiert man ferner zu einem beliebigen Polygone 
P/P 2 '... P w r das affine Polygon P" P" .., P" und berechnet 
nach § 13 die Inhalte J l und J", so folgt gemäß Gl. (1): 
(4) r- b -X. 
Der in dieser Gleichung ausgesprochene Satz läßt noch 
eine Verallgemeinerung zu. Betrachtet man nämlich eine 
krummlinig begrenzte, geschlossene Figur als die Grenze, der 
sich ein eingeschriebenes Polygon dadurch nähert, daß die 
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