§ 30. Geometrische Örter. 
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§ 30. Geometrische Örter. 
Unter dem geometrischen Orte eines Punktes versteht 
man bekanntlich eine Linie, deren sämtliche Punkte derselben 
Bedingung unterworfen sind. Drückt man diese Bedingung 
durch die Koordinaten x, y des Punktes, dessen Ort bestimmt 
werden soll, aus, so erhält man eine Gleichung zwischen x und y, 
die allemal, aber auch nur dann, erfüllt wird, wenn der Punkt 
(x, y) dem gesuchten Orte angehört, und die man daher als 
die Gleichung des Ortes bezeichnen kann. Die folgenden 
Aufgaben sollen dies noch weiter erläutern. 
Aufg. 1. Den Ort des Punktes zu bestimmen, der von 
zwei festen Punkten (a 1} b x ) und (a 2 , b 2 ) gleiche Abstände hat. 
Bezeichnet man die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes, 
dessen Ort bestimmt werden soll, mit x, y, so sind diese der 
Bedingung unterworfen: 
(x - a x y + (y - b x ) 2 = (x~ a 2 y + {y - \) 2 , 
aus der durch einfache Reduktion folgt: 
2 (u 2 — a x )x + 2(7; 2 — b x )y = a 2 2 — a x 2 + ö 2 2 — b x 2 . 
Dies ist aber die Gleichung einer Geraden, die im Mittelpunkte 
- 1 ^ ~2~ ^ er Verbindungslinie der gegebenen Punkte 
auf dieser senkrecht steht (§ 24). 
Aufg. 2. Yon einem Dreiecke seien gegeben die Basis 
und die Differenz der Quadrate der Seiten. Mau suche den Ort 
der Spitze. 
Wir wählen die Basis AB=2c zur Abscissenachse eines 
rechtwinkligen Achsensystemes, mit dem Mittelpunkte 0 von 
AB als Anfangspunkt. Dann haben 
wir die Bedingung 
AC 2 -BC 2 = d 2 
(wo d 2 die gegebene Differenz ist) 
durch die Koordinaten x, y der Spitze 
C auszudrücken. Es ist aber: 
Vig. 24. 
AC 2 = (c + x) 2 + y 2 , BC 2 = {c-x) 2 + y 2 ,