§ 31. Hauptaufgabe und Methode der analytischen Geometrie. 73 
stimmtes mathematisches Gesetz definierte Kurve eine Gleichung 
mit zwei Yariaheln x und y gefunden werden kann, die 
allemal, aber auch nur dann, befriedigt wird, wenn x und y 
die Koordinaten eines Punktes der Kurve bedeuten, und ob 
umgekehrt jede zwischen zwei Yariaheln x und y bestehende 
Gleichung in der angegebenen Weise als Gleichung einer be 
stimmten Kurve gedeutet werden kann. 
Die in dem vorhergehenden Paragraphen an einzelnen 
Beispielen entwickelten Methoden führen zur Beantwortung 
dieser Fragen. Denn denken wir uns eine Kurve als den geo 
metrischen Ort eines Punktes definiert, der einer bestimmten 
Bedingung unterworfen ist, so hat man nur diese Bedingung 
durch die Koordinaten des Punktes, dessen Ort die gegebene 
Kurve ist, auszudrücken und man erhält eine Gleichung zwischen 
x und y, die allemal, und nur dann, 
erfüllt wird, wenn x und y die Koordi 
naten eines Punktes der Kurve bedeuten. 
Definiert man z. B. den Kreis als den 
Ort eines Punktes, dessen Abstand von 
einem festen Punkte, den wir zum An 
fangspunkte eines rechtwinkligen Koordi- 
natensystemes wählen wollen, konstant 
gleich r ist, so läßt sich die dem Punkte P 
auferlegte Bedingung durch die Gleichung x 2 + y 2 = r 2 aus- 
drücken. Diese Gleichung gilt für alle Punkte des Kreises 
mit dem Radius r, aber auch nur für diese. Für jeden Punkt 
innerhalb des Kreises ist x 2 -f y % < r 2 , für jeden Punkt 
außerhalb des Kreises ist x 2 -j- y 2 > r 2 . 
Wir werden demnach die Gleichung x 2 + y 2 = r 2 (weil 
ausschließlich den Punkten des Kreises zukommend) als die 
Gleichung des Kreises mit dem Radius r bezeichnen, 
indem wir definieren: 
Unter der Gleichung einer Kurve in Bezug auf 
ein gegebenes Koordinatensystem versteht man eine 
Gleichung zwischen zwei Yeränderlichen x und y, 
die allemal, aber auch nur dann, erfüllt wird, wenn 
x und y die Koordinaten eines Punktes der Kurve 
bedeuten. 
Mg. 27.