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(7) x 2 -\- iß — 2px — 2qy == 0, 
Da die Gleichung (1) durch Multiplikation mit einer be 
liebigen, von Null verschiedenen Konstanten a in ihrer Be 
deutung nicht geändert wird, so erkennt man: 
Die allgemeine Gleichung eines Kreises ist eine 
in Bezug auf x und y quadratische Gleichung, in 
der das Glied mit xy fehlt und die Glieder mit x 2 
und y 2 gleiche Koeffizienten besitzen; sie ist also 
ax 2 + ay 2 -\- bx cy -\- d = 0. 
Untersuchen wir jetzt, ob auch umgekehrt jede Glei 
chung dieser Form als die Gleichung eines Kreises 
angesehen werden kann. 
Zu diesem Zwecke dividieren wir die Gleichung (8) durch 
a und bringen sie sodann auf die Form: 
[ x + Ä) + {y + Ä) “ 
(x - p x ) 2 +(y- 2i) 2 = 
insofern wir zur Abkürzung setzen: 
(10) 
2 
1 7 
c 
2 a’ 
■j/fe 2 -|- c 2 
Ist nun h 2 -j- c 2 — 4tad > 0, also r x reell, so folgt, daß 
Gleichung (9), und folglich auch Gleichung (8), die Gleichung 
eines Kreises mit dem Mittelpunkte (p 1} q x ) und dem Radius r x 
darstellt. 
Ist aber b 2 4- c 2 — 4:ad < 0, so kann der Gleichung (9) 
durch kein reelles Wertepaar (x, y) genügt werden, folglich hat 
dann auch Gleichung (8) keine geometrische Bedeutung. 
Ist endlich b 2 + c 2 — \.ad = 0, so wird die Gleichung (8) 
nur durch die Koordinaten des einen Punktes (— 
\ 2 a’ 2 a/ 
befriedigt. (Kreis mit dem Radius Null.)