§ 42. Die Gleichung der Kugel. 
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A ^ B C 
a ~ 2 A 7 2 A 0 ’ c ~ 2 A 0 
hat und deren Radius 
r ^VA i + B i +C i -iA 0 D 
2 A 0 
ist. Nur für den Fall A 2 -f B 2 + C 2 — 4A 0 D < 0 wird r 
imaginär; der Gleichung (8), und folglich auch der Gleichung (7), 
kann dann durch kein reelles Wertetripel x, y, z genügt werden. 
Da die Gleichung (7) durch Division mit A 0 stets auf 
die Form 
(9) x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + B = 0 
gebracht werden kann, so erkennt man, daß die allgemeine 
Kugelgleichung vier Konstanten enthält und demnach durch 
vier in hezug auf A, B, C, D lineare Bedingungen eindeutig 
bestimmt werden kann. Eine Kugel ist daher z. B. durch 
vier Punkte im allgemeinen definiert. 
Anfg. 1. Gib, entsprechend den Gleichungen (2) bis (6), 
alle Möglichkeiten für die Lage des Mittelpunktes einer Kugel 
in bezug auf das Koordinatensystem an und schreibe jedesmal 
die Gleichung der Kugel auf. 
Aufg. 2. Eine Kugel sei durch den Mittelpunkt (5,-1, — 3) 
und den Radius r = 10 gegeben. Untersuche, ob die Punkte 
(1, 2, -3), (0,0,0), (5, -1,7), (0,1,0) 
innerhalb, auf, oder außerhalb der Kugel liegen. 
Aufg. 3. In welchen Punkten trifft die ¿-Achse die Kugel 
{x — d) 2 + {y — b) 2 + {e — c) 2 = r 2 ? 
Zeige, daß das Produkt der beiden auf der ¿-Achse gebildeten 
(vom Anfangspunkte aus gerechneten) Abschnitte gleich 
a 2 + h 2 -f c 2 — r 2 
ist. Welche Folgerungen ergeben sich hieraus für die Rich 
tungen dieser zwei Abschnitte? 
Aufg. 4. Bestimme die Schnittpunkte der Kugel 
x 2 y 2 + z 2 Ax + By + Cz -f- D = 0 
mit den Achsen und zeige, daß das Produkt der Achsen 
abschnitte für jede der drei Achsen dasselbe ist. 
Aufg. 5. Es seien l x , ? 2 ; m x , %, n 2 sechs Zahlen und 
^ 1. 2 = m x m 2 = n x n 2 . Bestimme die Gleichung der Kugel mit